ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
РАЗДЕЛ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА И ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
· Излагаются основные теоремы анадиза и формула Тейлора
· Рассматриваются вопросы, важные для построения математических моделей
ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Пусть - некоторая проколотая окрестность точки а.
Определение: Точка а – точка локального максимума f(x), если для всех x
выполняется неравенство f(x)<f(a).Если для всех x
выполняется неравенство
, то говорят о точке нестрогого максимума.
Аналогичным образом определяются точки локального минимума и нестрогого локального минимума. Следует только заменить входящие в определение неравенства неравенствами и
, соответственно.
Обобщающие названия для точек максимума и минимума – точки экстремума.
Теорема1(П. Ферма):Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки а, пусть эта точка – точка экстремума (хотя бы нестрогого) для функции f(x) и пусть существует производная Тогда
=0.
◄ Рассмотрим, для определенности, случай точки максимума. Тогда для всех x
выполняется неравенство f(x)<f(a), или
. Если x
и х<a, то
.
По условию существует производная . Значит, существует
. По теореме о предельном переходе в неравенствах,
.
Аналогично, при x
, х>a выполняется неравенство
, поэтому
. Так как,
=
=
, должны выполняться неравенства
, из которых следует доказываемое равенство
=0. ►
Примечание 1. В точке экстремума производная может не существовать. Примером служит функция . Она имеет минимум в точке х=0. однако
,
и
не существует.
Примечание 2. Теорема Ферма дает необходимое условие экстремума, но не достаточное, т.е. производная функции в точке может равняться нулю, а экстремума в этой точке нет. Пример: . Эта функция имеет производную
, обращающуюся в ноль при х=0, однако
возрастает на всей числовой прямой.
Следствие(необходимые условия экстремума). Если функция непрерывна на (а;b), то точками локального экстремума могут быть только такие точки х0 , в которых производная функции
либо не существует, либо обращается в 0.
Теорема2(М.Ролль)Пусть
Тогда существует точка с (a;b) такая, что
=0.
Замечание 1. все условия теоремы Ролля являются существенными. Это означает, что если не выполняется одно из них, а остальные два выполняются, заключение теоремы может оказаться неверным.
Примеры. 1)
Выполнены условия 2) и 3), не выполнено условие 1). Для всех имеем
=1.
2) f(x)= , x
[-1;1].
Не выполнено условие 2), условия 1),3) выполнены. На интервале (-1;0): =-1; на интервале (0;1):
=1. В точке x=0 производная не существует, поэтому на (-1;1) нет такой точки, что
=0
3) f(x)=x
Выполнены первые 2 условия, третье на отрезке [0;1] не выполнено. Всюду на (0;1) имеем =1.
Следствие : Пусть
Тогда существует точка такая, что
.
Замечание. Геометрический смысл теоремы Ролля: при ее условиях есть хотя бы одна точка с на интервале (а;b), касательная в которой параллельна оси x.