ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА И В ФОРМЕ ПЕАНО
Формула Тейлора представляет собой один из основных инструментов математического анализа. Её смысл состоит в том, что функция представляется в виде
, где
– многочлен Тейлора,
– остаточный член формулы Тейлора. В зависимости от вида
она используется в различных целях: при вычислениях значений функций с заданной точностью, при исследовании асимптотического поведения функций и т.д.
Теорема. (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа) Пусть ,
, …,
непрерывны в окрестности
точки
и пусть в
существует
. Тогда для любого
существует точка
, лежащая между
и
такая, что
(1)
Примечание. В этом представлении функции величина
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Можно выписать более общую форму Шлёмильха и Роша (Schlömilch–Roche) остаточного члена:
, (2)
где – число, удовлетворяющее неравенствам
, такое, что
, а
– любое число. Например, остаточный член в форме Лагранжа получится, если
в этой общей форме (2). Иногда бывает удобен остаточный член в форме Коши, получаемый из (2) при
:
.
Замечание. Часто вместо пишут
, где
и наоборот, каждому такому
соответствует число
между
и
.
Замечание. Часто вместо точки пишут просто
, а вместо
пишут
и формула Тейлора приобретает вид:
,
(6)
Замечание. В случае, когда – независимая переменная, или линейная функция от независимой переменной,
, и
. Обозначим
. При этом формула Тейлора записывается так:
(7)
Замечание. Особенно часто формула Тейлора используется, когда . Тогда
и
(8)
Эту формулу часто называют также формулой Маклорена (Mac-Laurin).
Теорема .(Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (G.Peano)). Пусть в окрестности точки
существуют и непрерывны
, …
. Пусть
существует в
и непрерывна в точке
Тогда
при
(1)
Замечание. Вместо формул (7) и (8) предыдущего параграфа имеем, соответственно, при
. И
Замечание.Утверждение теоремы останется справедливым, если предположить, что в окрестности точки
существуют и непрерывны
, …
и что существует
.
РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ex, sinx, cosx, lnx, (1+x)µ
Применим формулы Тейлора к функциям, перечисленным выше.
1) , где ξ – некоторая точка между 0 и x. Другая запись для точки ξ : ξ = θ x, 0 < q <1. Это – разложение ex с остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для ex принимает вид
,
.
2) , где ξ лежит между 0 и x.
Здесь – небольшая хитрость. Мы разложили функцию до членов степени 2n+2 , что позволило сделать погрешность меньшей. Конечно, член выписывать не надо, он равен 0, а здесь он был помещён только для разъяснения вышеупомянутой «хитрости». Итак
.
Аналогично,
Разложения для sinx и cosx по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеют вид:
, x→0
, x→0
3) ,
где ξ – некоторая точка между 0 и х.
Разложение с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
4)
,
где - между
и
. Это так называемое биноминальное разложение с остаточным членом в форме Лагранжа. Та же формула с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
,
.
В качестве примера применения формулы Тейлора рассмотрим задачу нахождения с точностью до 0,001.
Сначала подготовим ее к применению формулы Тейлора. Для этого, зная, что , перепишем вычисляемую величину в виде
.
Используем биноминальное разложение при
,
.
Число членов разложения выберем, исходя из заданной точности. Для этого найдем
такое, чтобы:
(1)
(тогда при умножении на стоящий впереди коэффициент 2 получаем требуемую точность 0,001).
Очевидно, что:
;
Далее, - между
и
, поэтому
и
,
поэтому
Итак, абсолютная величина левой части неравенства (1) не больше, чем
. (2)
Поэтому если число (2) окажется меньше, чем 0,0005, то и остаточный член формулы будет меньше 0,0005 и требуемая точность будет достигнута.
Сразу ясно, что при
Число .
Поэтому требуемую точность для приближенной величины даёт приближённая формула:
.