ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ
Развитие состояния частицы во времени описывается волновым уравнением Шредингера. Для вывода уравнения воспользуемся оператором эволюции, сдвигающим состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.
Оператор трансляции 
сдвигает состояние объекта на расстояние а
. (2.44)
Для получения оператора разлагаем 
в ряд Тейлора по параметру a
Производную по координате выражаем через оператор импульса
,
находим
,
где квадратная скобка является разложением в ряд экспоненты
.
В результате оператор трансляции
. (2.45)
Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля
. (2.46)
Определению соответствует
.
Сравнение с (2.45) дает
. (2.47)
Генератором перемещения является импульс.
Полученные результаты обобщим на смещение во времени.
Оператор эволюции 
передвигает состояние во времени на τ
. (2.49)
По аналогии с (2.45)
записываем
. (2.50)
Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)
.
В результате (2.49) получает вид
, (2.50а)
где 
.
Генератор эволюции, соответствующий (2.50), в виде
(2.51)
сравниваем с генератором трансляции (2.46)
и по аналогии с (2.47)
получаем
,
в полной запаси
. (2.52)
Для установления физического смысла 
рассмотрим его действие на волну де Бройля
,
описывающую частицу с полной энергией Е. Получаем уравнение
на собственную функцию оператора , где собственным значением является полная энергия. Следовательно, генератором эволюции является оператор полной энергии, или гамильтониан.