СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Собственные функции эрмитового оператора 
образуют ортонормированный базис 
. Если частица находится в состоянии Ψ, являющемся суперпозицией функций , то физическая величина A не имеет определенного значения. Получим ее среднее значение.
Разложение состояния Ψ по базису имеет вид:
для дискретного спектра
, (2.23)
для непрерывного спектра
, (2.24)
где 
– комплексное число. Докажем, что коэффициент разложения является амплитудой вероятности обнаружения состояния 
в исследуемом состоянии Ψ, а вероятность обнаружения равна 
.
Коэффициенты разложения . Умножаем 
на (2.23) или (2.24), интегрируем по пространственным переменным, переставляем суммирование и интегрирование, учитываем условия ортонормированности (2.21) или (2.22). Для дискретного спектра получаем
,
для непрерывного спектра
.
Заменяем 
, и для дискретного и непрерывного спектров находим коэффициент разложения
. (2.25)
Определим физический смысл коэффициента . Разложение для дискретного спектра подставляем в условие нормировки функции состояния 
и получаем
.
Результат сравниваем с нормировкой вероятности дискретных событий
,
получаем
. (2.26)
Следовательно, вероятность обнаружения состояния в нормированном состоянии 
равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью 
обнаруживается в эксперименте значение 
дискретной физической величины A для частицы в состоянии , где – собственное значение оператора с собственной функцией .
Для непрерывного спектра разложение
подставляем в условие нормировки функции состояния
,
учитываем ортонормированность (2.22)
,
получаем
.
Результат сравниваем с нормировкой вероятности непрерывных событий
,
получаем
. (2.27)
Следовательно, плотность вероятности обнаружения состояния в нормированном состоянии равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью 
в единичном интервале изменения n обнаруживается в эксперименте значение непрерывной физической величины A для частицы в состоянии , где – собственное значение оператора с собственной функцией .
Среднее значение величины, описываемой оператором , в нормированном состоянии равно
, (2.28)
если состояние нормировано
.
Доказательство для величины A с дискретным спектром:
Состояние разлагаем по собственным функциям оператора
.
Разложение подставляем в (2.28), учитываем
,
,
,
получаем
.
Результат совпадает с определением среднего в теории вероятности дискретной величины
.
Следовательно, измерение проектирует состояние частицы Ψ на орты базиса , проекцией является амплитуда вероятности . В результате возмущающего воздействия измерительного устройства на микрочастицу происходит необратимое изменение ее состояния, частица оказывается в состоянии с вероятностью 
. При этом изменяется состояние макроскопического измерительного устройства, оно регистрирует у частицы значение физической величины A.
Для непрерывной величины A аналогично находим из (2.28) известное в теории вероятности выражение для среднего
.