Теорема 4 (Больцано-Вейерштрасса)
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Из теоремы 3 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.
Из теоремы 4 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.
Определение 5. Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности , ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается
.
Очевидно, если сходится, то
. Если последовательность
не ограничена сверху (снизу), то полагают
.
Пример 2.Доказать расходимость последовательности .
Решение.Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности и
(
). Очевидно, что
,
. Таким образом, последовательность
имеет две предельные точки:
и
, а поэтому не может быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.
Пример 3.Найти все предельные точки последовательности , верхний и нижний пределы этой последовательности.
Решение.Каждое из чисел ,
,
,
,
,
встречается в последовательности бесконечно много раз, поскольку
. Поэтому каждое указанное число является предельной точкой последовательности
. Других предельных точек последовательность не имеет, так как если число
не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки
, не содержащая ни одного члена последовательности. Из найденных 181 предельных точек наименьшей является
, а наибольшей 1, т.е.
,
.