Основные теоремы о пределах
Теорема . Для того чтобы последовательность 
имела пределом число А необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде = А+ 
, где -
бесконечно малая последовательность.
Теорема 1. Пусть 
и 
. Тогда:
а) 
;
б) 
;
в) если 
, то начиная с некоторого номера определена последовательность 
и 
.
Если 
, то 
называют неопределенностью типа 
. Аналогично определяются неопределенности типа 
, 
, 
. В этих случаях теорема 1 неприменима.
1.Доказать, что 
(указать 
).
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
2.Доказать ограниченность или неограниченность последовательностей 
.
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
;
8) 
; 9) 
; 10) 
.
3.Установить, являются ли последовательности бесконечно большими, бесконечно малыми или не являются ни бесконечно большими, ни бесконечно малыми.
1) 
; 2) 
; 3) ;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) ;
9) 
; 10) .
4.Вычислить пределы числовых последовательностей.
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
5.Вычислить пределы числовых последовательностей.
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
4
9) 
; 10) 
.