Свойства плотности вероятностей
f1). Плотность вероятностей 
является функцией неотрицательной:
для любого 
.
▲ Поскольку функция распределения 
является функцией неубывающей, то ее производная 
. Поэтому свойство следует из равенства (2.5) ■.
f2). Площадь под графиком плотности вероятностей равна единице:
- условие нормировки.
▲ Из представления (2.3) следует, что 
, а в соответствии со свойством F2) функции распределения 
■.
f3). Вероятность попадания непрерывной случайной величины 
в интервал 
определяется как интеграл от плотности вероятностей по этому интервалу: для любых 
. (2.6)
▲ Поскольку в соответствии со свойством F6) функции распределения 
, то данное свойство непосредственно вытекает из представления (2.3):
■.
Следствие. Для непрерывной случайной величины
и все вероятности определяются с помощью интеграла (2.6).
Графическая иллюстрация функции распределения и плотности вероятностей непрерывной случайной величины.
2.5. Важнейшие непрерывные случайные величины
1. Равномерная случайная величина.
Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения (равномерное распределение) на отрезке 
, если множество ее возможных значений 
, а плотность вероятностей постоянна на этом отрезке:
Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:
, то есть 
.
Таким образом, равномерно распределенная случайная величина имеет плотность вероятностей:
и для нее используется сокращенное обозначение: 
.
Найдем функцию распределения случайной величины .
Для этого рассмотрим три случая:
а) если 
, то 
;
б) если 
,то 
;
в) если 
, то 
.
Окончательно имеем:
Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:
2. Показательная (экспоненциальная) случайная величина.
Говорят, что непрерывная случайная величина имеет показательный закон распределения (показательное, экспоненциальное распределение), если множество ее возможных значений 
, а плотность вероятностей имеет вид:
Число 
называется параметром показательного закона распределения, а для показательной случайной величины используется сокращенное обозначение: 
.
Проверим условие нормировки:
при любом .
Найдем функцию распределения случайной величины .
Для этого рассмотрим два случая:
а) если 
, то ;
в) если 
, то 
.
Окончательно имеем:
Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:
3. Нормальная (гауссовская) случайная величина.
Говорят, что непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (нормальное, гауссовское распределение) с параметрами 
, если множество ее возможных значений 
, а плотность вероятностей имеет вид:
.
Сокращенное обозначение нормальной случайной величины:
.
Кривая плотности вероятностей имеет симметричный вид относительно прямой 
и имеет максимум в точке .
Проверим условие нормировки:
для любых значений параметров а и 
(при этом использовался известный в анализе факт, что 
- интеграл Пуассона).
В зависимости от изменения параметров плотность вероятностей нормального закона распределения меняется следующим образом.
Если параметр фиксирован, то при изменении а кривая , не изменяя своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс. Таким образом, параметр а является параметром сдвига (положения). Также параметр а характеризует среднее значение случайной величины.
Изменение при фиксированном а равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям: при увеличении плотность вероятностей становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении - вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (эффект действия условия нормировки). Таким образом, параметр является параметром масштаба.
Также параметр характеризует степень разброса значений случайной величины около среднего значения а в следующем смысле. Чем меньше , тем больше при фиксированном 
вероятность вида 
, как площадь под плотностью вероятностей или, другими словами, тем при меньшем можно получить заданную вероятность вида . Это означает, что при уменьшении значения случайной величины более плотно группируются около а, то есть степень разброса значений случайной величины около среднего значения а меньше.
Если 
и 
, то нормальный закон распределения называется стандартным, его плотность вероятностей имеет вид:
и называется функцией Гаусса.
Функция распределения случайной величины 
имеет вид:
и не выражается в элементарных функциях. Функцию 
называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей).
Геометрическая иллюстрация.
Свойства функции Лапласа 
:
1. 
;
2. 
для 
.
Значения функции Лапласа для табулированы.
Функция распределения случайной величины также выражается через функцию Лапласа :
.
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал 
определяется по формуле:
.
Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания случайной величины в интервал длины 
, симметричный относительно точки :
.
Далее, если положить 
и учесть, что 
, то получаем:
.
Полученный результат носит название «Правило трех сигма». Он означает, что «практически все» значения случайной величины находятся внутри интервала 
в том смысле, что вероятность случайной величине принять значение, не принадлежащее этому интервалу, пренебрежимо мала ( 
).
Геометрическая иллюстрация «Правила трех сигма».
Нормальный закон распределения очень распространен и имеет чрезвычайно большое значение для практики. В этом мы убедимся, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.
5. Случайная величина, имеющая закон распределения Коши.
Говорят, что непрерывная случайная величина имеет закон распределения Коши, если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид:
.
Функция распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, имеет вид:
.
Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом:
 | |||
 | |||
