Доказательство
Покажем, что ряд сходится.
x достаточно близко к x0.
модуль 
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда
Теорема. Если все члены ряда 
(1) - непрерывные на [a;b] ф-ции, а ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].
Док-во: Пусть 
- произв.точка [a;b]. Для опр-ности будем считать, что 
(a;b). Нужно док-ть, что S(x)= непрерывна в , т.е 
< 
(2), 
[a;b]. По усл-ю, ряд (1) равномерно сх-ся на [a;b], т.е 
n 
[a;b] 
< 
(3), где 
= 
. Фиксируем номер 
, тогда при n= 
из (3) получаем: 
< (4). В частности, при x= 
находим 
< (5). Ф-ция 
(x) непрерывна в как сумма конечного числа непрерывных ф-ций. По опр-ю непрерывности 
[a;b] 
< (6). Восп. рав-вом S(x)-S( )=(S(x)- (x))+( 
(x)- ( ))+( ( )-S( )). Отсюда получаем, исп. (4)-(6) и нер-во треугольника : < , для [a;b], т.е справедливо утв-е (2). В силу произвольности точки ф-ция S(x) непрерывна на отрезке [a;b].
Теорема о почленом интегрировании функционального ряда
