Дифференциал функции
Методические указания к проведению лекционного занятия
Тема № 3.6. Дифференциал функции.
План:
1. Дифференциал функции.
2. Геометрический смысл дифференциала.
3. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
4. Дифференциалы высших порядков.
Дифференциал функции
Функция называется дифференцируемой в точке
, если приращение
этой функции в точке
, отвечающее приращению аргумента
, можно представить в виде
, (1)
где А – функция, зависящая только от и не зависящая от
,
– бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с
.
Замечание: Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.
Опр.: Выражение в разложении (1) дифференцируемой в точке
функции, являющееся главной линейной относительно
частью приращения функции
, называется дифференциалом функции
в этой точке и обозначается
или
.
При дифференциал функции по определению считается равным нулю.
Пример:Найти дифференциал функции при
.
Решение: Так как , то
= Отсюда
.
Окончательно находим
.
Опр.: Функция называется дифференцируемой на некотором интервале (а, b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Тогда в разложении (1) коэффициент А будет функцией х, а дифференциал
будет функцией х и
, т.е.
.
Теорема.Для того чтобы функция была дифференцируема в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная
.