Дифференциалы высших порядков
Пусть дифференциал 
функции 
в свою очередь является функцией аргумента 
. Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции в точке и обозначается 
.
.
Если - независимая переменная, то 
, и дифференциал второго порядка примет вид
или 
.
Дифференциал от второго дифференциала, если последний есть дифференцируемая функция аргумента , называется дифференциалом третьего порядка (или третьим дифференциалом) данной функции в точке и записывается в виде
.
Так как 
для независимой переменной , то
.
Аналогично, дифференциал от дифференциала 
-го порядка носит название дифференциала 
-го порядка (или -го дифференциала) функции в точке и находится по формуле
или
(7)
для независимой переменной .
Пример: Найти дифференциал 2-го порядка функции
.
Решение: По формуле (7) имеем
.
Пример: Найти -й дифференциал функции
.
Решение: По формуле (7) запишем 
. Используя формулу для -й производной функции , найдем
.
Для -го дифференциала справедливы следующие формулы:
;
- формула Лейбница.
Если функция имеет конечные производные до 
-го порядка включительно в некоторой окрестности точки 
и, кроме того, имеет конечную производную -го порядка в самой точке , то говорят, что функция раз дифференцируема в точке .
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение дифференциала функции. Перечислите свойства дифференциала функции. Приведите примеры.
2. Раскройте механический смысл дифференциала.
3. Каким образом дифференциал функции используется в приближенных вычислениях?
4. Как находятся дифференциалы высших порядков?
Литература:
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.
5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.
6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.