А) Вращающие моменты, действующие на ротор синхронной машины при ее качаниях
Вначале рассмотрим параллельную работу синхронного генератора с сетью бесконечно большой мощности при периодически изменяющемся моменте на его валу.
Предположим, что генератор приводится во вращение каким-нибудь поршневым двигателем, например одноцилиндровым четырехтактным дизелем. Кривая зависимости вращающего момента такого двигателя от угла поворота в геометрических (механических) градусах показана на рис 4-91.
Рис. 4-91. Кривая вращающего момента одноцилиндрового четырехтактного дизеля.
Как видно, вращающий момент во времени периодически изменяется (период изменения равен времени, в течение которого двигатель сделает два оборота) Его можно представить в виде среднего момента М0, определяющего нагрузку синхронного генератора, и накладывающегося на него переменного момента Мк:
М = М0 + Мк.
Момент Мк будем называть "избыточным" или "качательным".
Избыточный момент обусловливает вынужденные колебания синхронной машины. Он представляет собой периодическую функцию времени, среднее значение которой равно нулю. Разложим его в гармонический ряд и представим в следующем виде:
, (4-90)
где Мν — амплитуда ν-й гармоники избыточного момента;
ψν — ее фазный угол;
v — порядок гармоники или число импульсов вращающего момента за один оборот;
— средняя (синхронная) механическая угловая частота.
Постоянный момент М0 соответствует постоянной мощности ωсМ0, а следовательно, постоянному углу θ0 между векторами 
и 
. Переменный момент Мк создает механические колебания ротора (и его полюсов), которые вызовут колебания вектора относительно вектора напряжения сети (рис. 4-92), что в свою очередь вызовет колебания тока и мощности синхронного генератора.
Рис. 4-92. Колебания вектора 
относительно вектора .
Если в частном случае принять, что вращающий момент, приложенный к валу генератора со стороны первичного двигателя, постоянен и равен М0, т е среднему значению рассмотренного ранее момента, то, очевидно, частота вращения ротора будет постоянной и никаких колебаний ее не будет В этом случае вращающий момент первичного двигателя будет уравновешиваться, если пренебречь потерями, только электромагнитным моментом генератора;
или
. (4-91)
При колебаниях угловой частоты ротора, вызванных периодически изменяющимся вращающим моментом первичного двигателя, на вал генератора будут действовать следующие вращающие моменты.
1. Момент со стороны первичного двигателя
. (4-92)
2. Электромагнитный момент
.
Так как угловая частота колебания ωt мала по сравнению с синхронной угловой частотой ωс, то можем написать:
.
Имея в виду малые колебания, т. е малое значение угла колебания или отклонения θ'. можно принять, что cos θ' 
1 и sin θ' θ', и считать приближенно электромагнитный момент, кГ·м,
, (4-93)
где Мс — удельный, а Мcθ' — полный синхронизирующие моменты
3. Момент сил инерции всех вращающихся частей агрегата (первичного двигателя и генератора) может быть найден следующим образом.
Обозначим через J момент инерции вращающихся частей агрегата, тогда кинетическая энергия, запасенная этими частями, будет равна:
.
Взяв первую производную энергии А по времени и разделив ее на угловую частоту ωс + ωt, найдем искомый момент сил инерции
. (4-94)
Механическая угловая частота колебания при р парах полюсов машины равна:
. (4-95)
Из (4-94) и (4-95) получаем:
. (4-96)
4. Успокоительный момент, создаваемый в результате взаимодействия поля и токов, наведенных им в успокоительной обмотке, уменьшает механические колебания ротора, что и дало повод назвать короткозамкнутую обмотку на роторе успокоительной. Она при качаниях вместе с ротором вращается то быстрее, то медленнее поля, следовательно, относительно поля имеет то отрицательное, то положительное скольжение. Это переменное скольжение
. (4-97)
Успокоительный момент, называемый также асинхронным, при малых скольжениях приближенно можно считать пропорциональным скольжению:
, (4-98)
где D — коэффициент пропорциональности, кг·м·с.
Таким образом, уравнение вращающих моментов, действующих на ротор синхронной машины при ее качаниях, получается в следующем виде:
. (4-99)
Так как в этом уравнении Мэм0 = -M0, то, подставляя в него найденные выражения для отдельных моментов, получим:
. (4-100)
Решение полученного линейного дифференциального уравнения, коэффициенты которого принимаются постоянными, как известно, не представляет затруднений. С формальной стороны оно ничем не отличается от дифференциального уравнения колебательного процесса чисто механической системы, в которой роль синхронизирующего момента играет момент упругой силы какой-либо пружины, а роль момента успокоительной обмотки — момент сил трения, или, например, процесса в электрическом колебательном контуре, состоящем из индуктивности, емкости и сопротивления.
Если известна кривая избыточного момента, которая находится по индикаторной диаграмме поршневого двигателя, то можно определить ее гармоники. Решая уравнение (4-100), можно найти углы отклонения при качаниях, обусловленные каждой из этих гармоник, а затем, просуммировав их, найти результирующий угол отклонения.