Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

2.1. В урне 6 белых и 9 черных шаров. Последовательно без возвращения из урны вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: а) все шары черные; б) все шары белые; в) первый и второй шары белые, а третий шар черный; г) ровно два черных шара.

2.2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии: а) сработает только один сигнализатор; б) сра­ботают оба сигнализатора; в) не сработает ни один сигнализатор; г) сработает хотя бы один сигнализатор.

2.3. Четыре орудия делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны, соответственно, 0,85; 0,8; 0,7; 0,5. Найти вероятность того, что: а) все орудия поразят мишень; б) ни одно орудие не поразит мишень; в) ровно одно орудие поразит мишень; г) ровно два орудия поразят мишень.

2.4. Студент пришел на экзамен, подготовив 15 вопросов из требуемых 18. Экзаменатор задает студенту три вопроса. Найти вероятность того, что студент: а) ответит на все заданные вопросы; б) не ответит ни на один заданный вопрос; в) ответит хотя бы на один вопрос; г) ответит только на два вопроса.

2.5. Фирма имеет три независимо работающих подразделения. Вероятности того, что по итогам года получит прибыль первое, второе и третье подразделения, равны, соответственно, 0,7; 0,8 и 0,85. Найти вероятность того, что по итогам года: а) все подразделения получат прибыль; б) ни одно подразделение не получит прибыль; в) хотя бы одно подразделение получит прибыль; г) ровно два подразделения получат прибыль.

2.6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу отобранное изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятности того, что из трех проверенных изделий: а) все изделия высшего сорта; б) только два изделия высшего сорта; в) ни одного изделия высшего сорта; г) хотя бы одно изделие высшего сорта.

2.7. Из колоды в 36 карт одну за другой (не возвращая их обратно) вытаскивают 3 карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт: а) три туза; б) нет ни одного туза; в) есть хотя бы один туз; г) карты вынуты в следующем порядке – дама, король, туз.

2.8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,65, а для второго и третьего – 0,5, а для четвертого – 0,4. Стрелки делают по одному выстрелу. Найти вероятность того, что: а) никто из стрелков не попадет в цель; б) хотя бы один стрелок попадет в цель; в) ровно три стрелка попадут в цель; г) ровно два стрелка попадут в цель.

2.9. Высажены яблони трех сортов. Вероятность того, что яблоня первого сорта приживется, равна 0,75. Для яблонь второго и третьего сортов эти вероятности равны, соответственно, 0,6 и 0,5. Найти вероятность того, что: а) все высаженные яблони приживутся; б) все яблони погибнут; в) приживется ровно одна яблоня; г) приживется хотя бы одна яблоня.

2.10. В первом ящике 11 красных и 4 синих шара, во втором – 7 красных и 8 синих шаров. Из каждого ящика наудачу извлекли по одному шару. Найти вероятность того, что: а) шары одного цвета; б) шары разных цветов; в) оба шара синие; г) хотя бы один шар красный.

2.11. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна . Какова вероятность того, что, купив 4 билета, гражданин: а) выиграет по двум билетам; б) выиграет ровно по одному билету; в) не выиграет ни по одному билету; г) выиграет хотя бы по одному билету?

2.12. Из колоды в 36 карт одну за другой (не возвращая их обратно) вытаскивают 3 карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт: а) три короля; б) ровно один король; в) нет ни одного короля; г) хотя бы один король.

2.13. Вероятность удачного завершения переговоров для первого менеджера равна 0,8, для второго – 0,9, для третьего – 0,7. Менеджеры одновременно начали переговоры. Найти вероятность того, что: а) все они закончат переговоры удачно; б) только два менеджера закончат переговоры удачно; в) все они завершат переговоры неудачно; г) хотя бы один из них завершит переговоры удачно.

2.14. Рабочий обслуживает 4 однотипных станка. Вероятность того, что любой станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: а) все четыре станка; б) ровно один станок; в) ни один станок; г) хотя бы один станок.

2.15. Студент знает 15 вопросов из 25. Вытянутый им экзаменационный билет состоит из 3 вопросов. Найти вероятность того, что студент: а) ответит на все вопросы билета; б) не ответит ни на один вопрос билета; в) ответит на первый вопрос, а на второй и третий не ответит; г) ответит хотя бы на один вопрос билета.

2.16. Экзаменационный билет содержит четыре вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9, на второй – 0,8, на третий – 0,6, на четвертый – 0,3. Найти вероятность того, что студент: а) ответит ровно на два вопроса; б) ответит на все вопросы; в) не ответит ни на один вопрос; г) ответит хотя бы на один вопрос.

2.17. Работы на 4 строительных объектах ведут разные фирмы-подрядчики. Вероятность выполнения работы в установленный срок для первой фирмы равна 0,8, для второй и третьей фирм – 0,7, для четвертой – 0,9. Найти вероятность того, что работы: а) будут завершены в срок на всех объектах; б) будут завершены в срок только на двух объектах; в) не будут завершены вовремя ни на одном объекте; г) будут завершены в срок хотя бы на одном объекте.

2.18. В отделе работают 10 человек, 4 из них являются специалистами первой категории. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что среди выбранных сотрудников: а) все имеют первую категорию; б) никто не имеет первой категории; в) хотя бы один имеет первую категорию; г) только один имеет первую категорию.

2.19. В соревнованиях участвуют 3 представителя спортивной школы. Вероятность того, что первый спортсмен выполнит норматив мастера спорта, равна 0,4. Для второго и третьего спортсменов эта вероятность равна, соответственно, 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что норматив выполнят: а) все спортсмены; б) только два спортсмена; в) только один спортсмен; г) не выполнит ни один спортсмен.

2.20. В книжном магазине имеются отделы учебной, художественной и детской литературы. Вероятность посещения покупателем отдела учебной литературы равна 0,9. Для отделов художественной и детской литературы эта вероятность равна, соответственно, 0,75 и 0,8. В магазин зашел человек. Найти вероятность того, что он посетит: а) все три отдела; б) ровно два отдела; в) ровно один отдел; г) не посетит ни одного отдела.

2.21. В департаменте работают 8 юристов и 4 экономиста. Случайным образом для участия в торжественном мероприятии выбирают 3 человек. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) только экономисты; б) только юристы; в) ровно два юриста; г) хотя бы один экономист.

2.22. В помещении 4 кондиционера. Для каждого кондиционера вероятность того, что он включен в данный момент, равна 0,4. Найти вероятности следующих событий: а) не включен ни один кондиционер; б) включены все четыре кондиционера; в) включены ровно три кондиционера; г) включены ровно два кондиционера.

2.23. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за не­который промежуток времени) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за этот промежуток времени безотказно будут работать: а) только один эле­мент; б) только два элемента; в) все три элемента; г) не будет работать ни один элемент.

2.24. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на всех трех костях выпадет пять очков; б) пять очков выпадет ровно на одной игральной кости; в) пять очков не выпадет ни на одной игральной кости; г) пять очков выпадет хотя бы на одной кости.

2.25. Вероятность того, что во время эпидемии гриппа заболеет ребенок дошкольного возраста, равна 0,4. Для младшего школьника эта вероятность равна 0,3, для старшего школьника – 0,15. В семье четверо детей: один дошкольного возраста, один младший школьник и два старшеклассника. Найти вероятность того, что во время эпидемии: а) все дети в семье заболеют; б) никто из детей не заболеет; в) заболеет хотя бы один ребенок; г) заболеют ровно трое детей.