Аналитические условия равновесия системы сил
Положение, в котором тело или материальная система сохраняет состояние покоя, называется положением равновесия, а условия, которым должны быть подчинены силы, приложенные к системе в состоянии равновесия, называются условиями равновесия, и они определяются следующей теоремой.
Теорема.Для равновесия произвольной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно,
Рис. I. 22чтобы главный вектор системы сил и главный момент системы сил были равны нулю относительно любого центра приведения, т.е. 
= 0, 
= 0. Эти условия равновесия называются векторными условиями равновесия. Подчеркнем, что центр приведения 
может быть выбран любым.
Рассмотрим систему сил 
, произвольным образом ориентированных в пространстве (рис. I. 22) и выберем декартову систему координат с началом в центре приведения. Проецируя на оси координат векторные условия равновесия, получаем шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:
(1) 
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Первые три уравнения являются уравнениями для компонент сил,
остальные – уравнениями моментов (при их записи использовано определение момента вектора относительно оси).
Таким образом, для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы компонентов приложенных сил относительно осей декартовых координат были равны нулю и чтобы суммы моментов приложенных сил относительно каждой из осей координат были также равны нулю.
Из общих уравнений могут быть получены условия равновесия системы сил для отдельных частных случаев.
Уравнения равновесия сходящейся системы сил.Выбирая точку, в 
которой сходятся линии действия сил, за центр моментов и начало системы координат (рис. I. 23), видим, что уравнения для компонент моментов сил тождественно обращаются в нуль, так как сами моменты сил относительно точки равны нулю. Поэтому уравнениями равновесия для сходящейся системы сил будут уравнениями только для компонентов сил:
Рис. I. 23 
То есть для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы компонент сил относительно координатных осей были равны нулю.
Условия равновесия параллельной системы сил.Выберем одну из осей системы координат, например, ось 
параллельно линиям действия сил, а две другие оси им перпендикулярно (рис. I. 24). При таком выборе ко-ординатных осей компоненты каждой из сил относительно осей 
и 
и их моменты относительно оси всегда равны нулю:
То есть эти равенства выполняются тождест-
Рис. I. 24венно, независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет. Поэтому в качестве условий равновесия должны рассматриваться лишь оставшиеся уравнения (2), (4), (6):
Таким образом, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы суммы компонентов всех сил относительно оси, параллельной этим силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных силам, также равнялась нулю.
Условия равновесия плоской системы сил.Случай плоской системы сил является самым распространенным. Совместим плоскость 
системы координат с плоскостью действия сил (рис. I. 25).
Так как ось 
перпендикулярна плоскости действия сил, то в этом случае
Рис. I. 25В результате останутся три аналитических условия
равновесия (1), (2), (6):
Таким образом, для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы компонентов этих сил относительно каждой из координатных осей, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно любой точки в плоскости действия сил также равнялась нулю. При практическом использовании условий равновесия для получения более простых уравнений, содержащих меньшее число неизвестных, рекомендуется выбирать координатные оси перпендикулярными неизвестным силам, а центры моментов брать на пересечении линий действия сил.