Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Криволинейные интегралы
Криволинейный интеграл первого рода.
В трехмерном измерении (т.е. пространство) задана кривая L с концами в т. А и В. Во всех ее точках задана функция ƒ(x, y, z). Разобьем кривую L на n частей точками Ао = А, А1, А2, …, Аn = В.
 | |
Пусть 
- длина дуги Ак-1Ак. На каждой дуге Ак-1Ак берем по точке ( 
) и составим сумму вида
Ее предел при max ∆Sк→0 
называют криволинейным интегралом первого рода и обозначают так 
Если в частности кривая L лежит в плоскости xoy, то функция ƒ(x, y) зависит от двух переменных и криволинейный интеграл первого рода имеет вид
Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла.
1) Рассмотрим 
Пусть кривая L задана параметрически
x = x(t)
y = y(t) α ≤ t ≤ β
дифференциал 
Тогда
|
в правой части равенства определенный интеграл.
Если кривая L задана явно уравнением у = у(x), a ≤ x ≤ b,
то 
|
Пример 1. Вычислить 
, если 
от т. А(1; 
) до т.В (2; 2)
Пример 2: Вычислить 
где 
2) Если кривая L пространственная и задана параметрически
α ≤ t ≤ β
то 
|
Пример 3 Вычислить 
где L: 
