Обчислення похибок фізичних вимірювань. Визначення густини тіл правильної геометричної форми
У роботі визначається густина цилідричного зразка за результатими вимірювань його маси m і розмірів: d - діаметра , h - висоти .
Густиною однорідного тіла називається відношення маси тіла до його об’єму: ρ= 
, або інакше, густина визначається масою одиниці об’єму. Маса є мірою інертних і гравітаційних властивостей тіла і є величиною скалярною та адитивною: маса складеного тіла дорівнює сумі мас усіх його частин. Об’єм циліндричного зразка:
V= S·h = 
·h (1)
Тоді густина твердого цилідричного зразка визначається за формулою:
ρ = 
(2)
Шляхом математичних перетворень отримаємо формулу для розрахунку відносної похибки:
ερ= 
(3)
Обчисливши відносну похибку ερ легко знайдемо й абсолютну похибку за формулою:
∆ρ = ρ· ερ (4)
Кінцевий результат непрямих вимірювань записується у вигляді:
ρ = ρ±∆ρ (5)
Похибка константи π не ввійшла до розрахункоої формули, оскільки її завжди можна зобити як завгодно малою.
Відносна похибка, яку знаходимо в результаті обчислень, має бути приблизно на порядок (тобто у 10 разів) менша за похибку результатів непрямих вимірювань. Оскільки в практиці навчальної лабораторії похибка непрямих вимірювань становить кілька відсотків, то завжди достатньо буде брати число π із трьома значущими цифрами, тобто π = 3,14.
Хід роботи:
1. Згідно номеру зразка (отриманого у викладача) визначте з табл. 1 значення m, d, h та запишіть у табл. 2.
2. Провести обробку результатів прямих вимірювань, для цього розрахувати:
- середні значення 
, 
;
- відхилення від середніх значень
∆mі = mі - 
, 
∆d = dі - , ∆h = hі -
- середні квадратичні відхилення
, 
, 
(6)
Розрахункивиконати не більше як із чотирма значущими цифрами. Результати розрахунків записати в табл.2
3. Визначити випадкові похибки вип, вип, вип. Для цього середні квадратичні відхилення 
, 
, 
помножити на коефіцієнти Стьюдента t для даної надійної йьовірності α та кількості вимірювань n. Для α =0,95 і n =5, t = 2,78.
4. Значення випадкових похибок округлии до однієї значущої цифри, якщо перша цифра більша за 3. Якщо вона дорівнює 3 або менша, округлити до двох значущих цифр і запиати в табл.3. Наприклад. Якщо знайдено значення 0,419 і 0,123, після округлення варто запиати загальну похибку прямих вимірювань. Для цього з табл. 1 визначити інструментальні похибки ін, ін, ін. і записати їх у табл.3. Порівняти інструментальні ∆Хінш і випадкові ∆Хвип похибки. Якщо одна з них більш ніж в три рази перевищує іншу, то меншою варто знехтувати і як загальну похибку прямих вимірюань взяти велику. У протилежному випадку загальну похибку розрахувати за формулою
∆X = 
(7)
Таблиця 1
| Номер зразка | № з/п | Діаметр d, мм ∆ dін=0,01 мм | Висота h, мм ∆hін= 0,05 мм | Маса ∆ mін=0,01 г |
| 10,15 10,16 10,21 10,19 10,18 | 16,35 16,40 16,40 16,35 16,30 | 3,20 | ||
| 12,50 12,51 12,53 12,49 12,52 | 18,95 18,90 18,90 18,85 18,95 | 18,17 18,15 18,14 18,14 18,18 | ||
| 15, 81 15,82 15,79 15,78 15,80 | 24,15 24,20 24,15 24,10 24,10 | 52,91 | ||
| 18,32 18,31 18,30 18,31 18,32 | 32,10 32,05 32,15 32,10 32,15 | 6,705 6,702 6,701 6,706 6,703 | ||
| 11,89 11,81 11,80 11,78 11,79 | 21,15 21,10 21,25 21,20 21,25 | 5,35 | ||
| 9,31 9,30 9,32 9,29 9,27 | 13,15 13,05 13,10 13,05 13,10 | 6,93 6,92 6,93 6,97 6,96 | ||
| 14,25 14,23 14,21 14,24 14,26 | 21,00 21,05 21,05 21,00 21,05 | 30,80 | ||
| 16,31 16,33 16,35 16,32 16,33 | 18,35 18,40 18,45 18,40 18,40 | 29,35 29,28 29,30 29,33 29,29 | ||
| 9,54 9,56 9,52 9,55 9,53 | 18,05 18,15 18,10 18,15 18,10 | 10,82 | ||
| 17,77 17,75 17,72 17,74 17,71 | 21,95 21,90 21,85 21,90 21,85 | 45,63 45,69 45,67 45,65 45,64 |
Таблиця 2
| Номер вимірювання | Маса зразка m, г | Діаметр зразка d, мм | Висота зразка h, мм | Відхилення від середнього | ||
| ∆m | ∆d | ∆h | ||||
| Середні значення | Середньоквадратичні відхилення | |||||
|
|
|
|
|
|
| |
Здобуті значення округлити відповідно до п. 4 і записати в табл. 3
Таблиця 3
| Розмір | Інструментальна похибка | Випадкова похибка | Загальна похибка прямих вимірювань ∆Х |
| Маса | |||
| Діаметр | |||
| Висота |
Задачі.
1. Подати результат аналізу на вміст соди в зразку методом кислотно-основного титрування, якщо отримано наступні результати: 98,10, 98,15, 98,08, 98,22, 98,10, 98,24%.
2. При визначенні вмісту берилію в стандартному зразку бронзи (2,12%) отримали наступні результати: 2,05, 2,09, 2,05, 2,12, 2,18, 2,05, 2,18, 2,19, 2,25. Чи присутня систематична похибка в методі?
3. Істинний вміст Fe2O3 у зразку складає 6,25%, а знайдений в результаті аналізу - 6,15%. Визначити абсолютну та відносну похибки.