Общие решения уравнений динамики жестких систем
Задачи динамики жестких систем заключаются в том, чтобы по заданным силам или моментам определить закон движения системы (положение - x или j, скорости 
или 
и ускорения 
или 
в любой момент времени) или по заданному закону движения определить силы, под действием которых оно происходит.
Жесткие системы могут быть представлены в виде одной приведенной массы (момента инерции массы), движущейся под действием приведенной силы (момента).
Приведенные силы могут зависеть от координаты x, скорости 
и времени t. Величина приведенной массы также может быть переменной и зависеть от положения (координаты x).
Обозначим переменные приведенную силу 
и приведенную массу 
.
При рассмотрении системы как жесткой, её элементы не деформируются при действии сил и моментов.
Пусть в момент времени отсчета t0 скорость движения приведенной массы m равна u0. Тогда работа внешней силы для поступательно движущейся массы равна
, (63)
скорость движения
, (64)
ускорение
, (65)
координата
. (66)
При заданных координатах из формулы (64)
, (67)
откуда
. (68)
Для вращающихся масс результаты выводов аналогичны при использовании координаты j, скорости w, момента инерции массы I и момента силы 
в приведенных выше формулах.
Приемы интегрирования дифференциального уравнения движения жесткой системы связаны с характером функций , 
, , . Рассмотрим некоторые конкретные примеры.
1) Масса системы 
,
Движущая сила 
.
Скорость из формулы (64) будет равна
. (69)
Возведя обе части в квадрат и дифференцируя по t, найдем ускорение
, (70)
или
. (71)
Выражение (71) является вторым законом Ньютона в упрощенном виде.
Представив выражение (69) в виде
, (72)
получим
, (73)
откуда
, (74)
а скорость приведенной массы
. (75)
Если начальная скорость 
, то формулы (73), (74) и (75) примут вид
, (76)
, (77)
. (78)
Аналогичные формулы получаются и для вращающейся массы.
2) Момент инерции массы 
,
движущий момент изменяется в функции угла поворота 
по закону
,
где – текущая угловая координата, а
– угол, соответствующий максимальному значению 
, равному M, причем 
.
Угловая скорость равна
, (79)
откуда
, (80)
. (81)
Преобразуя выражение (81), получим
, (82)
или
, (83)
откуда
. (84)
Возводя обе части равенства (84) в квадрат, решая относительно j и дифференцируя по t, получаем
, (85)
, (86)
. (87)
3) Момент инерции массы , движущий момент изменяется в функции скорости 
.
Пусковые характеристики электродвигателей часто принимают линейными. При этом момент может быть выражен в виде
, (88)
где M – наибольший приведенный пусковой момент,
– наибольшая скорость приведенной массы.
Для краткости выводов примем 
.
Тогда из (64)
, (89)
откуда
, (90)
или, заменив 
, получим
,
откуда
(91)
и
. (92)
Решая относительно 
, найдем
. (93)
Дифференцируя и интегрируя, получаем
, (94)
. (95)
4) Момент инерции массы , движущий момент изменяется в функции времени 
.
При разгоне электродвигателя с контакторным управлением
, (96)
где M – максимальный пусковой момент;
– время разгона.
Для рассматриваемого случая
, (97)
откуда аналогично предыдущим решениям получим
, (98)
, (99)
. (100)