Приклад виконання завдання. Матеріальна система (рис
Матеріальна система (рис. 13.1) починає рухатись із стану спокою під дією моменту 
електродвигуна 5. Через 
секунд ротор електродвигуна раптово зупинився. Знайти закон руху тіла 1. Осі тіл 1, 5 та 2 лежать в горизонтальній площині.
Таблиця 13.1
| В-т |  ,
| 
|  ,
|  ,
|  ,
|  ,
|  ,
|  ,
|  ,
|  ,
| ,
|
| 0,005 | 0,3 | 0,2 | 0,25 | 0,1 | 100+9(7-t) | 1,2 | |||||
| 0,01 | 0,4 | 0,25 | 0,3 | 0,15 | 150+11(7-t) | 1,4 | |||||
| 0,015 | 0,5 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | 150+13(7-t) | 1,6 | |||||
| 0,02 | 0,6 | 0,4 | 0,5 | 0,1 | 500+20(7-t) | 1,8 | |||||
| 0,015 | 0,55 | 0,35 | 0,4 | 0,16 | 600+62(7-t) | 2,0 | |||||
| 0,01 | 0,5 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | 550+5(7-t) | 2,2 | |||||
| 0,05 | 0,45 | 0,2 | 0,3 | 0,15 | 300+27(7-t) | 2,4 | |||||
| 0,01 | 0,35 | 0,15 | 0,2 | 0,2 | 200+15(7-t) | 2,6 | |||||
| 0,004 | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 150+10(7-t) | 2,8 | |||||
| 0,08 | 0,4 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 250+20(7-t) | 3,0 |
При розрахунку прийняти: 
, 
, 
.
Рисунок 13.1
Розв’язання.Якщо за узагальнену координату прийняти кут повороту 
(рис. 13.2) тіла 1 від положення статичної рівноваги, тоді рівняння Лагранжа II роду запишеться:
, (13.1)
де 
– кінетична енергія системи;
– узагальнена сила узагальненої координати ;
– узагальнена швидкість;
– узагальнена координата з початком в положенні статичної рівноваги системи ( 
).
Знайдемо кінетичну енергію системи, яка складається з суми кінетичних енергій тіл 1, 2, 3 і 5:
(13.2)
Рисунок 13.2
Тіла 1, 2 та 5 обертаються навколо нерухомих горизонтальних осей і їх кінетична енергія знаходиться за формулами:
, (13.3)
де 
, 
– моменти інерції відповідно тіл 1 та 2;
Тіло 3 переміщується поступально із швидкістю 
, тоді:
, (13.4)
де 
Кінетична енергія системи (13.2), враховуючи (13.3) та (13.4), запишеться:
, (13.5)
де 
– зведений момент інерції системи.
Знайдемо величини, що входять в ліву частину рівняння Лагранжа II роду (13.1).
(13.6)
Узагальнену силу визначимо за формулою:
, (13.7)
де 
– віртуальна робота активних сил;
– варіація узагальненої координати (бажано надавати в сторону збільшення координати ).
Визначимо віртуальну роботу активних сил системи (рис.13.2) враховуючи, що при зупинці ротора електродвигуна 
(13.8)
де 
– статична деформація пружної муфти, 
Або:
(13.9)
Узагальнена сила (13.7), враховуючи (13.9), запишеться:
(13.10)
Оскільки матеріальна система консервативна, тоді узагальнену силу можемо знайти іншим методом за формулою:
.
Потенціальна енергія системи П визначається роботою моменту пружної муфти та сили ваги тіла 3 на переміщенні системи із зміщеного положення, коли тіло 1 має координату φ, в нульове положення статичної рівноваги:
П=П(мпр)+П(Р3),
де П(мпр)= 
,
П(Р3)= 
Тоді 
.
В положенні статичної рівноваги:
тоді 
.
І узагальнена сила знаходиться за формулою:
Таким чином, рівняння Лагранжа II роду (13.1) набуває вигляду:
(13.11)
Або
де 
Циклічна частота вільних коливань
.
Інтегруючи диференціальні рівняння (13.11), отримуємо рівняння руху тіла 1:
(13.12)
Для визначення постійних 
та 
знайдемо кутову швидкість тіла 1:
(13.13)
Використаємо початкові умови задачі при
, 
, 
(13.14)
Тоді із рівнянь (13.12) і (13.13) маємо:
, 
. (13.15)
Початкову кутову швидкість 
знайдемо на підставі теореми про зміну кінетичної енергії системи:
(13.16)
де 
– потужність зовнішніх сил (рис. 13.3);
– потужність внутрішніх сил.
Нехтуючи потужністю моменту пружної муфти, приймаємо Nі=0.
Рисунок 13.3
Потужність зовнішніх сил:
, (13.17)
де 
;
Із теореми (13.16), враховуючи (13.5) та (13.17), знаходимо:
.
.
Або: 
. (13.18)
Інтегруємо рівняння (13.18) при умовах, що:
при ; 
,
при 
; 
.
Отримуємо: 
.
Для визначення 
, розглянемо рух ротора електродвигуна (рис.13.4)
Рисунок 13.4
Запишемо диференціальне рівняння руху ротора навколо нерухомої осі 
:
, (13.19)
де 
– момент, який передає пружна муфта.
Із (13.19) та (13.18) при 
знаходимо:
,
.
Тепер рівняння руху тіла 1 (13.12), враховуючи (13.15), запишеться:
,
Амплітуда коливань 
:
, 
.
Період коливань 
:
, 
.
Відповідь: φ=0,0077 сos68.4t+0.2675sin68.4t.
Література
1. Бать Н. М., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах: В 3 т. – Т.2 – М.: Наука, 1985. – 560с.
2. Березова О. В., Друшляк Г. Е., Солодовников Р. В. Теоретическая механика: Сб. задач. – К.: Высш. шк. Главное изд – во, 1980. – 324 с.
3. Бражниченко Н. А. и др. Сборник задач по теоретической механике / Н. А. Бражниченко, Н. Л. Кац, Б. Л. Минцберг, В. Н. Морозов. – М.: Судпромгиз, 1963. – 562 с.
4. Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики: В 2 т. – Т.2. – М.: Наука, 1979. – 461 с.
5. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики: В 2 ч. – М.: Наука, 1967. – ч. 1. – 468 с.; ч. 2. – 332 с.
6. Добронравов В. В., Никитин Н. Н., Дворников А. Л. Курс теоретической механики, – М.: Высш. шк., 1974. – 528 с.
7. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики: В 2 т. – М.: Наука, 1972 – 1977. – Т.1. – 456 с.; Т.2. – 462 с.
8. Ключев В. И., Терехов І. Б. Электропривод и автоматизация общепромышленных механизмов: Учебник для вузов, - М.: Энергия, 1980. – 360 с.
9. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики: В 2 т. – М.: Наука, 1984. – Т.1. – 352 с.; Т.2. – 640 с.
10. Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник. – К.: Техніка, 2002. – 512 с.
11. Приятельчук В. О., Риндюк В. І., Федотов В. О. Теоретична механіка. Динаміка матеріальної системи. Розрахунково-графічні та контрольні завдання. Навчальний посібник – Вінниця: ВНТУ, 2005. – 85 с.
12. Савин Г. Н., Путяга Т. В., Фрадлин Б. Н. Курс теоретической механики. –К.: Высш. шк., 1973. – 359 с.
13. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособ. для техн. вузов / Яблонский А. А., Норейко С. С., Вольфсон С. А. и др.; Под ред. А. А.Яблонского. – 4-е изд. перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 367 с.
14. Сендлер А. С. Электропривод и автоматизация металлорежущих станков: Учебное пособие. – М.: ВШ, 1972. – 440 с.
15. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики: В 2 т. – М.: Высш. шк., 1977. – Т.1. – 431 с.; Т.2.– 532 с.
16. Яскілка М. Б. Збірник завдань для розрахунково-графічних робіт з теоретичної механіки: Посібник. – К.: Вища шк.: Веселка, 1999. – 351с.
Навчальне видання
Андрій Андрійович Видмиш
Володимир Олексійович Приятельчук
Валерій Олександрович Федотов
ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА
ДИНАМІКА