Приклад виконання завдання. Система тіл (рис. 3.11) до якої входить електродвигун 1 масою m2 = 20 кг, однорідний стержень 2 масою m2 = 2 кг та довжиною м
Система тіл (рис. 3.11) до якої входить електродвигун 1 масою m2 = 20 кг, однорідний стержень 2 масою m2 = 2 кг та довжиною 
м, матеріальна точка масою mА= 0,5 кг, яка знаходиться в точці А (ОА=2/3 
).
Система пружин жорсткістю С1=2·103Н/м, С2=3·103Н/м, та С3=4·103Н/м знаходиться у положенні статичної рівноваги.
В деякий момент часу точку О зміщують із положення рівноваги вверх на х0=2см і надають швидкість ν0 = 3 м/с вертикально вниз. Одночасно ротор електродвигуна починає обертатись із постійною кутовою швидкістю ω = 1/2·ρ (ρ – частота збурювальної сили) навколо горизонтальної осі.
Знайти закон та побудувати графік (при 
, де T – період) руху центра мас (точка О) електродвигуна.
Рисунок 3.11
Розв’язання. Систему пружин замінюємо однією еквівалентною пружиною жорсткістю С
,
де 
С13 = С1·С3 /(С1+С3) = 2·103·4·103/(2·103+4·103) = 4/3·103 Н/м.
|
Рисунок 3.12
Розглянемо рух невільної системи тіл (рис. 3.11): електродвигуна 1, двох однорідних стержнів 2, двох матеріальних точок А. Центр мас О електродвигуна зміщений із положення статичної рівноваги 
на величину х (рис. 3.12), а стержні 2 повернулися на кут φ навколо горизонтальної осі О. Дію в’язі (пружину жорсткістю С) замінюємо реакцією в’язі – силою Fпр. Оскільки в точці 
деформація пружин дорівнює нулю, то
Fпр= С· (х+λ), (3.1)
де λ – статична деформація пружин, яка знаходиться за формулою
λ= (P1+2P2+2PA ) /C,
де P1,P2,PA – вага відповідно тіл 1,2 та матеріальної точки А.
Кутова швидкість обертання ротора
,
оскільки при явищі резонансу частота збурювальної сили p дорівнює власній частоті коливань системи k= 
(m – маса системи)
Для дослідження руху корпуса електродвигуна (рис.3.12) використаємо теорему про зміну головного вектора кількості руху системи в проекції на вісь х.
(3.2)
, 
(3.3)
Проекція Qх головного вектора кількості руху системи на вісь х
. (3.4)
Використовуючи теорему додавання швидкостей, отримаємо проекцію швидкості точки А і швидкості центра мас тіл 2 на вісь х (рис.3.12).
(3.5)
,
де 
.
Тепер формула (3.4), враховуючи (3.5), запишеться :
Qх= 
( 
+2m2+2m 
)-( 
m2+ 
m ) 
(3.6)
Підставляючи значення Qх (3.6) та Fxe (3.3) в теорему (3.2), отримаємо диференціальне рівняння:
.
Або 
, (3.7)
Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7) складається із загального розв’язку однорідного диференціального рівняння 
1+ 
х1=0, а саме:
х1=B1coskt + B2 sinkt (3.8)
та частинного розв’язку х2 неоднорідного диференціального рівняння (3.7), який будемо шукати у вигляді:
х2=B3cosωt. (3.9)
Із (3.7) враховуючи (3.9), знаходимо B3
-ω2B3cosωt + k2B3cosωt = h0cosωt,
.
Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7)
(3.10)
Постійні інтегрування B1 та B2 визначимо із початкових умов:
.(3.11)
Швидкість V точки О (рис.3.12)
Із рівнянь (3.10), (3.12) та початкових умов (3.11) знаходимо постійні інтегрування B1 та B2 .
-0,02 = B1+0,007, 3 = 22,86 B2. B2 = 0,13 м; B1 = -0,027м.
Тепер рівняння (3.10) руху точки О електродвигуна запишеться:
x=-0,027cos(22,86t) +0,13sin(22,86t)+0,007cos(11,43t). (3.13)
Рисунок 3.13
На рис.3.13 наведений графік руху точки О корпуса електродвигуна, який отриманий на підставі формули (3.13).
Відповідь: 