Расчет балансировочной кривой
Можно рассчитать балансировочную кривую (зависимость ), которая относится, как и найденные выше показатели статической устойчивости
, к статическим ХУУ.
Для упрощения примем, что эффективность Г.О. соответствует одному из вариантов (с.67).
Расчет производится для ряда фиксированных точек области полета, полет считается установившимся, , параметры
.
Обычно балансировочные кривые строятся для ряда фиксированных значений
, при этом заданы различные величины
для построения кривой
.
|
Балансировочные кривые относятся к статическим характеристикам устойчивости и управляемости. Для расчета балансировочной кривой используются упрощенные соотношения для 4-5-и значений скорости , высоты
, массы
.
|
Выше (стр.55) отмечены уравнения для решения коротко-периодического движения.
Определения:
Статическая устойчивость – способность самолета без вмешательства летчика создавать моменты, направленные на возвращение самолета к исходному равновесному состоянию после прекращения действия возмущения.
Динамическая устойчивость – соответствие переходного процесса заданным нормам.
Управляемость самолета – способность изменять положение в пространстве в ответ на усилия и перемещения на рычагах управления, создаваемые летчиком (способность самолета «ходить за ручкой»).
Самолет должен быть устойчивым относительно всех трех осей. Ниже рассматривается только продольная устойчивость.
|
Оценка характеристик устойчивости и управляемости производится в выбранных точках области полета, для которых значения высоты , скорости
, числа
, режима работы двигателя
, полетного веса
принимаются постоянными величинами.
Расчеты включают:
- расчет основных показателей переходного процесса по углу атаки в ответ на возмущающее воздействие;
- оценку улучшения характеристик устойчивости и управляемости с помощью демпфера тангажа. Рассматриваются такие показатели переходного процесса , как время срабатывания
, относительный заброс
, время затухания
(см. рис. ).
Исходными данными для расчетов являются величины момента инерции , а также
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
|
Окончательная летная оценка дается в процессе летных испытаний, но предварительная оценка может быть получена путем решения приведенных выше уравнений.
Допущение: возмущения, действующие на самолет, считаются малыми, например, возмущение угла атаки при вертикальном порыве ветра:
- скорость нормированного порыва ветра,
- скорость крейсерского полета.
.
Когда возмущения относительно опорной траектории малы, можно считать их линейной функцией.
Например, участок кривой
при малом можно считать прямой линией,
т.е. , в то время как вся функция
-
нелинейная.
|
Представление исходных уравнений движения в линейном виде называется линеаризацией. Полученная система линейных дифференциальных уравнений может быть решена аналитически.
Для линеаризации используется метод разложения в ряд Тейлора с оставлением только слагаемых 1й степени:
.
Рассмотрим подробно линеаризацию уравнения 1:
– исходное нелинейное уравнение.
,
линейное уравнение в приращениях:
,
, и т.д.
.
|
, где
– момент инерции самолета,
– угловая скорость относительно оси
,
– сумма моментов сил, приложенных к различным частям самолета.
– момент, обусловленный асимметрией самолета,
– момент, возникающий на счет угла атаки,
– момент от руля высоты,
– угол отклонения Р.В.(
),
– момент собственного демпфирования.
|

.
Отметим относительно последнего уравнения:
1. Поскольку мы рассматриваем для упрощения только продольное коротко-периодическое движение, (т.е. ), то в формулы для коэффициентов не входят производные по
,
,
,
.
2. По этой же причине коэффициенты в правой части уравнения , поэтому это – линейное дифференциальное уравнение 1го порядка с постоянными коэффициентами, которое решается аналитически.
3. Вместо угловой скорости применяется параметр
, эквивалентный
для условия
.
4. Исключается слагаемое , т.к. является константой и не оказывает влияния на устойчивость.
Уравнения для коротко-периодического движения:
1.)
2.)
3.)
4.)
|


Для определения математического условия устойчивости преобразуем систему из 4-х уравнений в одно уравнение положив, что ,
, т.е. получим однородное линейное уравнение для расчета собственного движения самолета (как правило – собственных колебаний):
(***), пусть:
,
, тогда
(*), либо
(**), где
– постоянная времени переходного процесса, равная обратной величине круговой частоты недемпфируемых колебаний самолета
,
.
Оба уравнения абсолютно идентичны и коэффициенты и
могут быть выражены через коэффициенты
.
В большинстве случаев решения уравнений (*) и (**) описывают затухающие колебания, реже – апериодическое движение.
|

корни которого: ,
если – корни комплексные, движение колебательное, затухающее,
если – корни вещественные, движение апериодическое.
Поскольку коэффициенты и
– постоянны, т.к. они вычисляются согласно формулам в уравнении (***), куда входят параметры установившегося опорного движения, то вычислив
и
можно сделать качественное заключение о типе переходного процесса и его устойчивости. Количественные оценки получаются только из рассмотрения решения переходной функции по времени. Для получения такого решения требуется большое число исходных данных, поэтому ниже рассмотрен конкретный пример расчета коротко-периодического движения самолета типа Ту-154 – изменение угла атаки
в ответ на возмущающее воздействие скачкообразного порыва ветра. Задавая
, уравнение будет неоднородным, однако его решение будет совпадать с решением однородного уравнения.
Качество переходного процесса определяет динамические характеристики устойчивости и управляемости в коротко-периодическом движении самолета, который рассматривается как колебательное звено 2го порядка. Дифференциальное уравнение колебательного движения имеет вид (по теории см. Смирнов В.И. Курс высшей математики Т.2):
|

Общий интеграл:
,
– коэффициент затухания;
– частота колебаний;
– амплитуда колебаний;
– начальная фаза колебаний.
Удобнее переходную функцию выражать в относительных величинах
, где
– угол атаки в установившемся горизонтальном полете,
– отклонение угла атаки от
.
Зависимость имеет вид (без вывода):
,
,
.
|



,
– запас устойчивости с учетом аэродинамического демпфирования:
,
, развернутое выражение для коэффициента
.
Значения безразмерные,
,
имеют размерность
, размерность
–
,
,
,
,
.
Характерные параметры переходного процесса (рис. ):
1. Постоянная времени:
;
2.
|
;
3. Относительный заброс (I-й экстремум):
;
4. Время срабатывания:
;
5. Время затухания:
.
|
