Пример решения задачи Д -3

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 и r3, радиусом инерции ρ3 относительно оси вращения, блока 4 радиуса R4 и подвижного блока 5 (коэффициент трения грузов о плоскость равен f).Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3.

К центру блока 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с; ее начальная деформация равна нулю.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

Дано: m1=0 кг, m2=5 кг, m3=6 кг, m4=0 кг, m5=4 кг, R3=0,3 м, r3= 0,1 м, ρ3=0,2 м, f=0,1, с=240 Н/м, М=0,6 Нм, F=80(3+2S)H, s1=0,2 м.

Определить: vc5 в тот момент, когда s= s1.

 

 

Решение:

1.Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 2, 3, 5 и невесомых тел 1 и 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, Fупр, Р2 , Р3 , Р5 , Fтр2 , момент сопротивления М, натяжение нити S5 и реакции связей N2 , N3, N4 .

 

Рис. Д.3

2. Для определения vc5 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: ,где - соответственно, сумма работ внешних и внутренних сил системы.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, работа внутренних сил равна нулю.

В начальном положении все элементы механизма находились в покое, скорости всех тел были равны нулю, поэтому Т0=0.

3. Кинетическая энергия системы равна сумме энергий всех тел системы:

Т= Т2+ Т3+ Т5.

4. Выполним кинематический анализ:

- тело 2 движется поступательно;

- тело 3 вращается вокруг неподвижной оси;

- тело 5 участвует в плоскопараллельном движении.

Исходя из этого, кинетическая энергия системы может быть представлена выражением:

.

5. Кинетическая энергия Т, которую получила система после того, как груз переместился вдоль наклонной плоскости на расстояние s1, зависит от искомой скорости vc5. Поэтому все скорости, входящие в выражение кинетической энергии данной механической системы, выразим через скорость vc5.

6. Поскольку грузы 1 и 2 связаны нерастяжимой нитью, то их скорости равны. В свою очередь эта нерастяжимая нить перекинута через малый обод шкива 3, следовательно: v1= v2= vА, где vА – любая точка обода радиуса r3 шкива 3.

7. Линейные скорости шкива 2 и блока 5 зависят от одной угловой скорости ω3: v2= ω3r3, v5= ω3R3.

8. Поскольку точка К5 является мгновенным центром скоростей для блока 5 (он как бы «катится» по участку нити К5L), то v5=2vc5. Тогда:

9. Осевые моменты инерции подвижного блока 5 и ступенчатого шкива 3 определяется выражениями:

10. Выполнив подстановку всех приведенных выше значений в выражение кинетической энергии для заданной механической системы, получим:

.

11. Находим работу всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда груз 1 пройдет путь s1=0,2 м. Введем следующие обозначения: s2 – перемещение груза 2 ( s2=s1); φ3 – угол поворота шкива 3; h5 – перемещение центра масс блока 5; λ0, λ1 –начальное и конечное удлинение пружины.

Сумма работ всех внешних сил равна:

, где

 

Работы остальных сил равны нулю:

- точка К5 – мгновенный центр скоростей, поэтому работа силы натяжения

нити S5 равна нулю;

- реакция опоры N2 перпендикулярна перемещению груза 2, а поэтому рабо-

ты не совершает;

- реакции N3 , N4, приложенные в неподвижных точках, не совершают работы.

По условию задачи λ0=0, тогда λ1 = sc5 – перемещение конца пружины. Выразим величины sc5 и φ3 через заданное перемещение s1. Зависимость между перемещениями такая же, как между соответствующими им скоростями:

12. Поскольку v5=v3=ω3R3 и vc5=0,5v5, то vc5=0,5ω3R3. Следовательно, λ1 = sc5=0,5φ3R3=0,5(s1R3)/r3.

13. При найденных значениях φ3 и λ1 получим выражение для подсчета суммы работ всех внешних сил, действующих на механическую систему:

14. Кинетическую энергию приравниваем к работе:

 

=

=

Подставив в полученное выражение известные численные значения заданных величин, найдем искомую скорость vc5.

Ответ: vc5 = 2,10 (м/c).

 

Таблица Д-3

Номер условия m1 кг m2 кг m3 кг m4 кг m5 кг С, Н/м М, Нм F=f(s), H Найти
1,2 80(4+5s) ω3
0,8 50(8+3s) v1
1,4 60(6+5s) v2
1,8 80(5+6s) ω4
1,2 40(9+4s) v1
1,6 50(7+8s) Vс5
0,8 40(8+9s) ω3
1,5 60(8+5s) V2
1,4 50(9+2s) ω4
1,6 80(6+7s) Vс5

Рис.Д3.0 Д.3.1.

 

 

Рис. Д3.2 Рис.Д 3.3.

 

 

Рис Д 3.4 Рис.Д.3.5.

 

Рис.Д 3.6. Рис. Д 3.7

Рис. Д.3.8 Рис.Д.3.9.