Розв’язання типової задачі з теми

В межах цієї теми студент повинен засвоїти види і способи відбору одиниць із генеральної сукупності, способи поширення вибіркових характеристик на генеральну сукупність і методику обчислення середньої та граничної похибки вибірки (похибки репрезентативності) та визначення необхідної чисельності вибірки.

Етапи проведення вибіркового дослідження:

1) одним із відомих способів формується вибіркова сукупність, відібрані одиниці сукупності можуть групуватися за певними ознаками;

2) розраховуються узагальнюючі статистичні характеристики вибіркової сукупності: середні величини, структурні показники (частка), які надалі будуть розглядатися як оцінки відповідних характеристик генеральної сукупності;

3) для інтервальної оцінки будується довірчий інтервал, тобто визначаються і записуються межі (від min до max), в яких з певною вірогідністю, очікуються кількісні значення відповідного показника генеральної сукупності.

Основні позначення

Показники	Позначення
у генеральні сукупності	у вибірковій сукупності
1. Кількість одиниць сукупності	N	n
2. Середнє значення показника
3. Дисперсія середнього значення	s²	s²_В
4. Питома вага (частка) одиниць сукупності, яким притаманні досліджувані ознаки	р
5. Частка одиниць сукупності, що не мають досліджуваних ознак	q	1-
6. Дисперсія альтернативної ознаки (частки)	р´q	´(1- )

Якщо принцип випадковості відбору не порушувався, то середня похибка вибірки (m) визначається за формулами:

Вид відбору	Середня помилка вибірки для:
Генеральної середньої	Генеральної частки
Повторний
Безповторний

З допомогою середньої похибки вибірки, межі довірчого інтервалу для генеральної середньої або частки визначаються з імовірністю лише 0,683. Щоб підвищити імовірність твердження про межі, в які потраплять генеральні характеристики, обчислюють граничну похибку вибірки ( ).

де t –коефіцієнт довіри, що підвищує імовірність твердження про потрапляння генеральних узагальнюючих показників до розрахованих довірчих меж.

Щоб добитися довірчої ймовірності = 0,954, середню похибку вибірки подвоюють, тобто t = 2; для довірчої ймовірності = 0,997 довірче число t =3.

Довірчий інтервал записується за формулами:

- для середнього:

- для частки:

- +

Приклад. З метою вивчення поширеності підприємств громадського харчування за їх величиною, проведено 10 відсоткову безповторну вибірку, яка дала наступні результати (усього в регіоні діє 2120 підприємств):

Групи підприємств за числом посадочних місць, одиниць	Питома вага, %
До 25
25 – 50
Більше 50
Разом

Визначте: а) середнє число посадочних місць на одне підприємство; б) з імовірністю 0,954 граничну помилку вибірки та інтервал, в якому знаходиться середнє число місць у підприємств регіону; в) з імовірністю 0,997 довірчі межі для частки підприємств з числом місць до 25.

Розв’язання:

1. Знаходимо середнє число місць для вибраних підприємств:

де х_і – число місць, середнє по групі;

f_і – число підприємств у групі;

Щоб одержати х_і перетворюємо інтервальний ряд розподілу у дискретний (при цьому відкриті інтервали умовно закриваємо за величиною найближчих розташованих поряд інтервалів):

1) 2) 3)

31 місце

2. Для розрахунку граничної помилки середньої знаходимо дисперсію:

3. Знаходимо граничну помилку для середньої за формулою:

2,5 (місця).

4. Будуємо довірчий інтервал для середнього числа місць:

Середнє число місць у підприємствах громадського харчування даного регіону з імовірністю 0,954 знаходиться у межах від 28 до 34 місць.

5. Знаходимо граничну похибку для частки

в % = 9,7 %

6. Довірчі межі для частки підприємств з числом місць до 25:

З імовірністю 0,997 можна стверджувати, що частка підприємств, які мають до 25 місць у регіоні знаходиться у межах від 35,3% до 54,7%.

Задачі і завдання для виконання на практичних заняттях

6.1. Середній стаж роботи 50 обстежених працівників підприємства (10%-ний відбір) склав 14,7 року при середньому квадратичному відхиленні 2,1 роки.

Визначте з імовірністю 99,7% граничну помилку вибірки та інтервал, в якому знаходиться середня величина стажу роботи.

6.2. Витрати робочого часу на виробництво однієї деталі у 15 однакових партіях деталей були такими:

Витрати робочого часу на 1 деталь, люд. год.	Кількість партій
2,8
2,9
3,0
3,4

На основі цих даних потрібно обчислити:

а) середні витрати робочого часу на 1 деталь;

б) середнє квадратичне відхилення і дисперсію витрат робочого часу;

в) з імовірністю 0,954 граничну помилку вибірки та інтервал, в якому знаходяться середні витрати робочого часу на 1 деталь.

г) з імовірністю 0,997 граничну помилку вибірки та інтервал, в якому знаходиться частка партій з трудомісткістю 3,4 людино-години.

6.3. Проведено вибіркове обстеження (1%-не) сімей за сукупним доходом на 1 члена і одержані такі дані (дивись таблицю):

Усього в місті проживає 142,8 тис. сімей.

1. Визначте з точністю 99,7% граничну помилку вибірки та інтервал, в якому знаходиться сукупний доход у середньому на одного члена сім’ї.

Групи сімей за сукупним доходом на одного члена сім’ї, (умовних грошових од.)	Кількість сімей у процентах до підсумку, %
До 40,0 40,0 – 60,0 60,0 – 80,0 80,0 – 100,0 100,0 – 120,0 120,0 – 140,0 140,0 і більше Разом

2. Обчисліть межі довірчого інтервалу, у якому з імовірністю 0,954 знаходиться частка сімей із доходом на 1 члена сім’ї до 100 грн. на місяць.

6.4. При вибірковому обстеженні трьох відсотків виробів партії готової продукції одержані такі дані про вміст вологи у виробах:

Відсоток вологи	Кількість виробів
До 15,0 15,1 – 17,0 17,1 – 19,0 19,1 – 21,0 21,1 – 23,0

Визначте:

а) середній відсоток вологості;

б) середнє квадратичне відхилення;

в) з імовірністю 0,997 граничну помилку вибірки для середньої вологості всієї партії виробів;

г) з імовірністю помилки в 5% межі довірчого інтервалу для частки виробів з вологістю до 19,0 відсотків;

д) скільки виробів із даної партії треба було б обстежити, щоб гранична помилка вибірки при імовірності ствердження 0,997 зменшилася удвоє.