Приклади розв’язання задач. Приклад 1. Визначити число молекул, які містяться в об'ємі 1 мм3 води, і масу молекули води
Приклад 1. Визначити число молекул, які містяться в об'ємі 1 мм3 води, і масу молекули води. Знайти також діаметр молекул. Вважати умовно, що молекули води мають вигляд кульок, які щільно прилягають одна до одної.
Дано:
H2O
V= 1 мм3 = 10-9м3
______________
N – ? m1 – ? d – ?
Розв’язування. Число N молекул, які втримуються в деякій системі масою m, дорівнює добутку постійної Авогадро NA на кількість речовини n
Оскільки n = m/m, де m – молярна маса, то N = (m / m) NA. Виразивши в цій формулі масу як добуток густини на об'єм V, одержимо
( 1)
Виконаємо обчислення, врахувавши, що m = 18 . 10-3 кг/моль,
r = 1,0.103 кг/м3
молекул.
Масу m1 однієї молекули можна знайти за формулою
( 2)
Підставивши в (2) значення m і NA , знайдемо масу молекули води
кг.
Якщо молекули води щільно прилягають одна до одної, то можна вважати, що на кожну молекулу приходиться об'єм V1 = d3, де d – діаметр молекули. Звідки
( 3)
Об'єм V1 знайдемо, розділивши об'єм моля 
на число молекул у молі, тобто на NА
( 4)
Підставивши вираз (4) в (3), одержимо
,
де V 
= m / r.
Тоді
. ( 5)
Зробимо необхідні розрахунки
Приклад 2. Знайти масу сірчистого газу (SO2), який займає об'єм 25 л при температурі 27о С і тиску 101 кПа.
Дано:
SO2
V = 25 л = 25.10-3 м3
t = 27оC
P = 101 кПа = 1,01.105 Па
___________________
m – ?
Розв’язування. З рівняння Клапейрона маса газу дорівнює
.
Визначаємо молярну масу сірчистого газу за даними таблиці Менделєєва 
й абсолютна температура T = t + 273о = 27о + 273о = 300о K.
Обчислюємо масу
Приклад 3. Балон містить 80 г кисню й 300 г аргону. Тиск суміші 10 атм, температура 15оС. Приймаючи дані гази за ідеальні, визначити ємність балона.
Дано:
O2
m1 = 80 г = 8.10-2 кг
Аr
m2 = 300 г = 3.10-1 кг
t = 15о C
P = 10 атм = 1,01.106 Па
_____________________
V – ?
Розв’язування. За законом Дальтона тиск суміші дорівнює сумі парціальних тисків газів, що входять до складу суміші. Парціальним тиском газу називається тиск, який здійснював би газ, якби тільки він один перебував у посудині, зайнятій сумішшю.
З рівняння Клапейрона парціальні тиски кисню p1 й аргону p2 виражаються формулами
і 
Отже, за законом Дальтона для суміші газів p = p1 + p2 або
звідки об’єм балона дорівнює
( 1)
Виразимо в одиницях СІ числові значення величин, які входять у цю формулу: m1 = 0,08 кг; m1 = 32.10-3 кг/моль; m2 = 0,3 кг; m2 = 40.10 -3 кг/моль; p = 10.1,01. 105 Па; T = 288K; R = 8,31 Дж /(моль . К).
Підставимо числові значення у формулу (1) і виконаємо необхідні розрахунки
Приклад 4. Знайти кінетичну енергію обертального руху однієї молекули кисню при температурі 130С, а також кінетичну енергію обертального руху всіх молекул, які містяться в 4 г кисню.
Дано:
O2
m = 4 г = 4.10-3 кг
t = 13оC
_____________
eоб – ? Wоб – ?
Розв’язування. Відомо, що на кожну ступінь вільності молекули газу доводиться однакова енергія, яка виражається формулою
( 1)
де k – стала Больцмана;
T– абсолютна температура газу.
Оскільки обертальному руху двохатомної молекули (молекула кисню – двохатомна) приписуються дві ступені вільності, то енергія обертального руху молекули кисню виразиться формулою
( 2)
Підставивши у формулу (2) k = 1,38 . 10-23 Дж/К й T =286 K, одержимо
Дж.
Кінетична енергія обертального руху всіх молекул газу визначається з рівності
, ( 3)
де N – число всіх молекул газу.
Число молекул N можна одержати за формулою
( 4)
де NA – число Авогадро;
n – число молів газу.
Число молів газу дорівнює
де m – маса газу;
– маса одного моля газу,
Кількість молекул газу визначається із формули (4)
( 5)
Підставивши цей вираз N у рівність (3), одержимо
( 6)
Виразимо величини, що входять у цю формулу, в одиницях СІ:
моль-1; 
кг; 
кг/моль;
Дж.
Підставивши ці значення у формулу (6), знайдемо
Приклад 5. На якій висоті над рівнем моря густина повітря зменшується у 2 рази? Вважати, що температура повітря не залежить від висоти й дорівнює 0оС. Молярна маса повітря дорівнює 29.10-3 кг/моль.
Дано:
r1/ r2 = 2
t = 0оC
__________
h – ?
Розв’язування. Густина ідеального газу ( і його концентрація n) зв'язані співвідношенням
r = nm0 ,
де m0 = m / NA – маса однієї молекули повітря;
m – молярна маса повітря;
NA – число Авогадро.
Таким чином, відношення густин газу r1/r2 дорівнює відношенню концентрацій молекул n1/n2. Відповідно до розподілу Больцмана концентрація n молекул повітря на висоті h дорівнює
,
де n0 – концентрація молекул на рівні моря (h = 0);
Un – потенціальна енергія молекули на висоті h визначається за формулою Un = m0gh (якщо h = 0 то Un= 0) .
Концентрації молекул на висоті h = 0 і h відповідно дорівнюють
n1 = n0 й n2 = n0 e 
.
Відношення концентрацій на цих висотах дорівнює
,
де NAk = R і NAm0 = .
Беремо натуральний логарифм від обох частин відношення й знаходимо висоту h
Підставивши в отриману формулу дані з умови задачі, одержимо
h = 
= 5,5.10 3м.
ЕЛЕМЕНТИ ТЕРМОДИНАМІКИ
Основні формули
1. Перший принцип термодинаміки
Q = 
U + A,
де Q – теплота, передана системі;
U – зміна внутрішньої енергії системи;
A – робота, виконана системою проти зовнішніх сил.
2. Зв'язок між питомою c і молярною Cm теплоємностями
Cm = cm.
3. Питома теплоємність газу при постійному об'ємі
4. Питома теплоємність газу при постійному тиску
5. Внутрішня енергія газу (енергія теплового руху молекул)
6. Робота розширення газу від об'єму V1 до об'єму V2 дорівнює
7. Робота газу в різних процесах визначають так:
– при ізотермічному процесі
A = ( m / m ) RT ln( V2 /V1 );
– при ізобарному процесі
A = p ( V2 - V1 );
– при адіабатному процесі
,
де g = cp / cv – показник адіабати.
8. Рівняння Пуассона, яке пов'язує параметри ідеального газу при адіабатному процесі
p g = const або TV g-1 = const.
9. Коефіцієнт корисної дії теплової (ККД) машини
де Q1 – тепло, передане робочому тілу;
Q2 – тепло, передане холодильнику.
10. Термічний ККД циклу Карно
де T1 – температура нагрівача;
T2 – температура холодильника.
11. Збільшення ентропії при переході із стану A у стан В
,
яка складається із приростів ентропії у проміжних процесах
.