Ряд А) расходится, ряд В) сходится 3 страница

- правильно

Решение:
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть

Тогда

5. Полный дифференциал функции имеет вид …

- правильно

6. Приближенное значение функции в точке вычисленное с помощью полного дифференциала, равно …

0,71

0,41

1,29

0,83

Решение:
Воспользуемся формулой
где
Вычислим последовательно

Тогда

Тема 12: Производная по направлению и градиент
1. Модуль градиента функции нескольких переменных в точке равен …

- правильно

Решение:
Градиент функции нескольких переменных находится по формуле
Тогда и
Следовательно,

2. Модуль градиента функции нескольких переменных в точке равен …

- правильно

Решение:
Градиент функции нескольких переменных находится по формуле
Тогда и
Следовательно,

3. Производная по направлению функции двух переменных в точке равна …

- правильно

Решение:
Производная по направлению функции двух переменных определяется как где и – направляющие косинусы вектора .
Вычислим частные производные в точке

Определив направляющие косинусы
получаем

4. Производная по направлению функции двух переменных в точке равна …

- правильно

5. Градиент функции в точке равен …

- правильно

Решение:
Градиент функции нескольких переменных находится по формуле
Тогда и

6. Градиент функции в точке равен …

- правильно

7. Производная по направлению функции двух переменных в точке равна …

– 4,8

– 0,96

Тема 13: Основные методы интегрирования
1. Множество первообразных функции имеет вид …

- правильно

Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции.
Разложив знаменатель дробно-рациональной функции на линейные множители, получаем

2. Множество первообразных функции имеет вид …

- правильно

3. Множество первообразных функции имеет вид …

- правильно

Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции методом интегрирования по частям по формуле Тогда

4. Множество первообразных функции имеет вид …

- правильно

Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда

5. Множество первообразных функции имеет вид …

- правильно

Произведем замену

6. Множество первообразных функции имеет вид …

- правильно

Тема 14: Свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла принадлежит промежутку …

- правильно

Решение:
Если функция интегрируема на и то
Определим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке . Для этого вычислим производную и решим уравнение Тогда Вычислив
и
получаем наименьшее значение а наибольшее –
Следовательно, или

2. Среднее значение функции на отрезке равно …

- правильно

Решение:
Среднее значение функции непрерывной на отрезке вычисляется по формуле где Тогда

3. Для определенного интеграла справедливо равенство …

- правильно

Решение:
Пусть Тогда то есть функция является четной. А определенный интеграл от четной функции по симметричному интервалу можно представить как

4. Значение определенного интеграла принадлежит промежутку …

- правильно

Решение:
Если функция интегрируема на и то
Определим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
Так как на этом отрезке справедливо неравенство то с учетом свойств функции , можем получить, что и То есть наименьшее значение а наибольшее –
Следовательно, или