Уравнения, содержащие модуль
При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что , если
.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:
а) если , то
и уравнение переписывается так:
, т.е.
,
;
б) если , то
,
,
и поэтому имеем
, и т.к.
, то в промежутке
корней нет;
в) если , то получаем
, т.е.
,
; наконец,
г) если , то
,
,
.
О т в е т: ,
.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение.
а) , тогда
,
,
;
б) , тогда
,
,
- любое из
;
в) , тогда
,
,
.
О т в е т: .
Пример 3. Найти корни уравнения .
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим эквивалентное уравнение , т.е.
, т.е.
,
,
.
О т в е т: ,
.
Пример 4. решить уравнение .
Решение. Это уравнение эквивалентно совокупности систем
и
Отсюда находим, что ,
.
О т в е т: ,
.
Пример 5. Указать все корни уравнения .
Решение. Это уравнение с параметром а. Оно эквивалентно совокупности систем и
.
Находим, что ,
, но должно выполняться условие
, т.е.
. Стало быть,
, т.е.
и
, т.е.
.
При имеем
.
О т в е т: если , то
; если
, то
.
З а д а ч и.Решить уравнения.
1)
2)
3)
8. Геометрические задачи
1. Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 3:7.
2. Величины углов треугольника относятся как 1:2:3. Большая сторона имеет длину 8 м. Найти длины меньшей стороны и медианы большей стороны.
Ответ: 4 м,4 м.
3. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 6 см. Найти длины сторон треугольника, если его периметр равен 32 см.
4. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 3 см и 5 см. Найти их длины.
5. В равнобочной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60 градусов. Найти меньше основание.
Ответ: 1,7 м.
6. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 30 см, а средняя линия равна 9 см. Найти длину каждой из боковых сторон трапеции.
Ответ: 6 см.
7. Сторона треугольника равна 20 см, а противолежащий ей угол 150 градусов. Найти радиус описанной окружности.
Ответ: 20 см.
8. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника соответственно равны 2 м и 5 м. Найти катеты треугольника.
Ответ: 6 м и 8 м.
9. Даны три стороны треугольника. Найти его углы, если a=55, b=21, c=38.
10. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол и остальные две стороны, если c=14, ,
.
11. Найти все элементы прямоугольного треугольника с прямым углом С, если известно, что
a) a=6,4; b=50
b) b=65; c=69
c) ,
d) a=114,
e) a=18,
f) ,
12. Найдите площадь параллелограмма, если его большая диагональ 5 м, а высота 2 м и 3 м.
13. Найдите площадь трапеции у которой основания 69 см и 20 см, а боковые стороны 13 см и 37 см.
14. Найти стороны ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а площадь равна .
15. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 50 дм, а основание меньше боковой стороны на 1 дм.
16. Найти площадь круга, если длина окружности равна 8 м.
Примерное контрольное задание.
Решить уравнение
Решить задачу
С туристической базы вышел пешеход, его скорость 4 км/ч. Через 4,5 ч по той же дороге выехал автомобиль со скоростью 76 км/ч. На каком расстоянии от базы автомобиль догонит пешехода?
3. Постройте график функции , записав аналитическое задание функции у:
Вершиной графика является точка М (2;4), и график проходит через точку А (1;5).
Решить задачу
Один из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 2 см. Сумма трех сторон равна 12 см. Найдите её стороны.
5. Решить графически уравнение:
10. Основные формулы
1. Свойства степени с рациональным показателем:
;
;
;
;
;
;
;
.
2. Действия с корнями:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Если ,
.
Если
, то
.
натуральное).
3. Формулы сокращенного умножения:
2 = a2 + 2ab + b2;
(a - b) 2 = a2 – 2ab + b2 ;
3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ;
(a – b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3 ;
(a + b)(a - b)= a2 - b2;
(a + b)( a2 – ab + b2)= a3 + b3 ;
(a - b)( a2 + ab + b2)= a3 - b3 ;
(a – b + c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc;
a2 + b2 = (a + b) 2 – 2ab;
a2 + b2 = (a - b) 2 + 2ab;
4. Квадратное уравнение:
ax2 + bc + c = 0 (a 0), x1,2 =
;
ax2 + 2kx + c = 0 (a 0) x1,2 =
(k2 – ac
0);
x2 + px + q = 0, x1,2 =
.
Формулы Виета: ,
.
Формулы разложения квадратного трехчлена на линейные множители:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) .
5. Прогрессии:
формула общего члена арифметической прогрессии:
an = a1 + (n - 1)d;
формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
;
формула общего члена геометрической прогрессии:
;
формула суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q 1:
;
формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
.
6. Площади многоугольников:
площадь прямоугольника с основанием a и высотой b: S = ab;
площадь параллелограмма с основанием a и высотой h: S = ah;
площадь треугольника с основанием a и высотой h: ;
площадь треугольника со сторонами a, b, c : sin
, где
- угол между сторонами b и c;
, где
, r – радиус вписанной в треугольник окружности;
, где R – радиус описанной около треугольника окружности;
формула Герона: , где
;
площадь трапеции с основаниями a, b и высотой h: ;
площадь правильного многоугольника: , где P – периметр многоугольника, r – радиус вписанной в него окружности;
площадь правильного n-угольника: sin
, где R – радиус описанной окружности.
Сторона правильного n-угольника:
sin
;
cos
;
sin
;
sin
;
sin
.
7. Окружность, круг:
длина окружности: C = pD = 2pR;
длина дуги окружности, отвечающая центральному углу в :
;
площадь круга: S =pR2;
площадь кругового сектора: ;
площадь сегмента с радианной мерой центрального угла a:
.
Литература
1. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Начала анализа. – М.: Наука, 1990
2. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Алгебра. – М.: Наука, 1989.
3. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. – М.: Наука, 1989.
4. Нестеренко Ю.В. и др. Задачи вступительных экзаменов по математике. – М.: Наука, 1983
5. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под редакцией Сканави М.И. – М.: Высшая школа, 1980.
6. Цыпкин А.Г. Справочник по математике. – М.: Наука, 1983.