Вопрос 7.1. Аддитивность определенного интеграла
Положим по определению, что
и
.
Теорема 7.1. (Аддитивность определенного интеграла). Если c некоторое число, то
.
при условии, что все указанные интегралы существуют.
Доказательство. Пусть и T такое разбиение, что c попадает на правый конец одно
го из отрезков разбиения. Тогда получаем
.
Переходя к пределу при , получим
.
Пусть теперь . Тогда применяя свойство аддитивности к отрезку
, получим
или
.
Меняя в последнем интеграле пределы интегрирования, получим
.
Аналогично доказывается свойство аддитивности при .
Конец доказательства.
Вопрос 7.2. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона - Лейбница).
Теорема 7.2. Если непрерывна на отрезке
, то
, где
любая первообразная функции
.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
.
Вычислим производную от функции
.
Так как по свойству аддитивности
,
то
,
где была использована теорема о среднем значении
.
Таким образом, есть первообразная для функции
. Так как в точке а
, то
,
но если является другой первообразной для функции
, то
и
и
.
Конец доказательства.
Замечание 7.1. Из доказательства теоремы следует, что если непрерывна, то она имеет первообразную
.
Конец замечания.
Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к вычислению неопределенного интеграла.
Пример 7.1.
.
Конец примера.
Вопрос 7.3. Замена переменных в определенном интеграле.
Теорема 7.3. Пусть непрерывная на отрезке
функция, и
есть множество значений некоторой функции
, непрерывно дифференцируемой на отрезке
, причем
и
, тогда справедлива формула замены переменной
.
Доказательство. Пусть первообразная для функции
. Тогда
есть первообразная для функции
.
По формуле Ньютона ‑ Лейбница
,
.
Отсюда следует, что левые части формул равны между собой.
Конец доказательства.
Пример 7.2.
.
Конец примера.
Вопрос 7.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Теорема 7.4. Пусть на отрезке заданы две дифференцируемые функции
и
с непрерывными производными. Тогда справедлива формула интегрирования по частям
или
.
Доказательство. Проинтегрируем левую и правую часть формулы дифференцирования произведения двух функций
получим, после переноса, доказываемую теорему
.
Конец доказательства.
Метод интегрирования по частям используется для интегрирования тех же классов функций, что и в случае неопределенных интегралов.
Пример 7.3.
.
Конец примера.