Вопрос 6.3. Свойства определенного интеграла
Свойство 6.4. (Линейность определенного интеграла)
.
Доказательство. Используя линейность интегральной суммы и свойства предела, получим
.
Отсюда получаем доказываемое равенство.
Конец доказательства.
Следствие 6.3. Если функции и
определены на отрезке
, причем
интегрируема на отрезке
, а функция и
отличается от функции
в счетном числе точек, то функция
интегрируема на отрезке
и
.
Доказательство. Приведем доказательство для случая, когда число точек, в которых , конечно. Пусть это будут точки
отрезка
. Рассмотрим функцию
. Тогда
только, если
. Положим
. Тогда выполнив произвольное разбиение отрезка
с диаметром
, и, учитывая, что каждая точка
принадлежит не более чем двум отрезкам
, получим для интегральной суммы функции
неравенство:
.
Переходя в нем к пределу при , получим
. В силу свойства линейности, функция
интегрируема на отрезке
и
.
Конец доказательства.
Из данного следствия вытекает важный вывод:
Следствие 6.4. Интеграл не изменится, если изменить у интегрируемой на отрезке функции
значения не более чем в счетном числе точек.
Свойство 6.5. (Нормировка определенного интеграла). Если на отрезке
, то
.
Доказательство. Интегральные суммы единичной функции равны . Поэтому, вычисляя предел такой постоянной суммы, получим, что интеграл равен
.
Конец доказательства.
Свойство 6.6. (Положительная определенность определенного интеграла). Если , то
.
Доказательство. Пусть , тогда по свойству положительности интегральных сумм
. Переходя к пределу, получим, что интеграл неотрицателен.
Конец доказательства.
Следствие 6.5. Если , то
.
Доказательство. Из неравенства следует, что
, тогда
Конец доказательства.
Свойство 6.7.Если функции и
интегрируемы на отрезке
, то и их произведение
интегрируемо на отрезке
.
Приводится без доказательства.
Свойство 6.8. (Теорема о среднем значении). Если непрерывна на
, то найдется точка c из этого отрезка такая, что
.
Доказательство. Пусть минимальное и максимальное значения функции на отрезке
соответственно равны m и M. Интегрируя неравенство
, получим
.
или
.
В силу непрерывности функции найдется такая точка c отрезка , что
.
Конец доказательства.
Свойство 6.9. Если функция интегрируема на отрезке
, то ее модуль
также интегрируем на отрезке
, при чем справедливо неравенство
.
Доказательство. Первая часть теоремы, т.е. доказательство интегрируемости модуля функции приводится без доказательства. Из неравенства
Следует, что
,
или
.
Конец доказательства.
ЛЕКЦИЯ № 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.