ЛЕКЦИЯ № 30. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вопрос 1. Линейные дифференциальные уравнения старших порядков.
Вопрос 30.2. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Список литературы ……………………………………………………….157
ЛЕКЦИЯ № 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Вопрос 1.1. Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение 1.1.1. Функция называется первообразной для функции
на интервале
, если
для всех x из интервала
.
Конец определения.
Очевидно, что если первообразная для функции
, то и
тоже первообразная для
. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 1.1.1. Если и
две первообразные для функции
, то они отличаются на константу.
Доказательство. Так как выполняются равенства ,
, то, вычитая из первого равенства второе, получим
.
Из равенства нулю производной, заключаем, что разность функций принимает постоянное значение, откуда и следует доказываемое утверждение
.
Конец доказательства.
Определение 1.1.2. Неопределенным интегралом от функции на интервале
называется множество всех ее первообразных, которое обозначается символом
.
Конец определения.
Свойства неопределенного интеграла:
1) ,
2) .
Доказательство. Доказательство следует из равенства:
.
Конец доказательства.
3) .
Доказательство. Пусть и
есть первообразные для функций
и
соответственно. Тогда сумма
есть первообразная для функции
, и, следовательно, справедливо равенство
.
Поскольку равенство неопределенных интегралов понимается с точностью до константы, то отсюда следует доказываемое соотношение.
Конец доказательства.
4) .
Доказывается аналогично 3-ему свойству.
5) .
Доказательство. Пусть есть первообразная для функции
, тогда функция
есть первообразная для функции
, отсюда получаем
,
где учтено, что . Отсюда, по тем же причинам, что и в доказательстве свойства 3 следует справедливость свойства 4.
Конец доказательства.
6) .
Доказательство. Пусть есть первообразная для функции
, тогда функция
есть первообразная для функции
.
Отсюда получаем
.
Конец доказательства.
Вопрос 1.2. Таблица интегралов.
Таблица интегралов играет в высшей математике такую же важную роль, что и таблица производных. Она состоит из наиболее часто встречающихся интегралов от элементарных функций. Эти интегралы получаются с помощью таблицы производных из определения неопределенного интеграла.
.
1. .
2. .
3. .
.
4. .
5. .
6.
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14.
15. .
Докажем например формулу 2. Вычислим производную от . Если
, то
, тогда
. Если
, то
, тогда
. Поэтому
.
Замечание 1.1. Некоторые интегралы могут быть выражены через другие функции.
Например:
,
,
,
где ‑ аркгиперболический синус (функция ‑ обратная к гиперболическому синусу) и
‑ аркгиперболический тангенс (функция ‑ обратная к гиперболическому тангенсу)