Вопрос 21.1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Определение 21.1. Дифференциальное уравнение
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Теорема 21.1. Если 
и существуют первообразные для функций 
и 
, то 
есть решение уравнения тогда и только тогда, когда удовлетворяет соотношению
.
Доказательство. Пусть есть решение уравнения .
Тогда
.
Интегрируя последнее соотношение, получим
.
Пусть теперь удовлетворяет равенству
.
Так как 
, то, дифференцируя его по x, получим
.
Конец доказательства.
Замечание 21.1.
.
Это уравнение есть не что иное, как общий интеграл
.
Замечание 21.2. Если 
при 
, то 
есть решение , оно может не удовлетворять общему интегралу и его необходимо учитывать отдельно.
Рассмотрим теперь уравнение вида
.
Покажем, что с помощью замены 
это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:
.
‑ уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим
.
Пример 21.1. Решить задачу Коши 
.
Разделяя переменные, получим
При значении 
получаем 
‑ решение уравнения, то есть общее решение уравнения есть
.
Из начального условия получим
.
Конец примера.
Пример 21.2. Найти общее решение уравнения 
.
Выполним замену переменных 
, тогда получим 
или 
. Разделяя переменные, получим
.
Отсюда получаем 
или 
.
Конец примера.
Вопрос 21.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение 21.2. Дифференциальное уравнение вида 
называется однородным дифференциальным уравнением.
Покажем, что однородное дифференциальное уравнение подстановкой 
сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно 
, тогда 
или
,
то есть переменные разделились.
Пример 21.3. Решить уравнение 
.
Подстановкой 
получим 
или 
.
Разделяя переменные, найдем
.
Конец примера.
Рассмотрим теперь уравнения вида
.
Покажем, что подстановкой 
уравнение сводится к однородному уравнению. Считаем, что 
, тогда 
. Теперь получаем
.
Выберем n и m так, чтобы
Эта система уравнений всегда имеет единственное решение, если главный определитель отличен от нуля
.
Пусть n и m удовлетворяют этой системе, тогда получим
,
однородное дифференциальное уравнение.
Пример 21.3. Решить уравнение 
.
, тогда положим 
, причем n и m удовлетворяют системе уравнений
,
тогда 
и 
.
Выполнив замену 
и подставив в уравнение, получим
или 
.
Разделяя переменные, найдем
.
Пусть 
, тогда получим
.
Интегрируя почленно, получим
.
Подставляя , получим
,
где
.
ЛЕКЦИЯ № 22. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.