ЛЕКЦИЯ № 28. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вопрос 1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений.
Рассмотрим линейное дифференциальное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
.
Будем искать решение этого уравнения в виде 
. Вычисляя производные
и подставляя их в уравнение, получим
Так как 
, то сокращая на , получим квадратное уравнение для определения
.
Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением. Рассмотрим следующие три случая:
1) характеристическое уравнение имеет разные вещественные корни, то есть его дискрименант строго положителен (D > 0).
Обозначим эти корни через 
. Тогда получаем два решения
Эти решения образуют Ф.С.Р., так как их определитель Вронского отличен от нуля в точке x = 0
Следовательно, общее решение этого уравнения дается формулой
.
2) характеристическое уравнение имеет один вещественный корень , то есть его дискрименант D = 0.
В этом случае имеется одно решение 
. Зная его, найдем второе решение 
, используя формулу (смотри лекцию № 8)
Так как D = 0, то 
. Поэтому получаем
следовательно,
.
Итак фундаментальная система решений имеет вид
Общее решение уравнения есть
3) характеристическое уравнение имеет комплексные корни 
, то есть его дискрименант D < 0.
Тогда имеется два решения
.
Эти решения являются комплексными функциями вещественного аргумента x. Удобно искать решения в виде вещественных функций. Для этого используем формулы Эйлера
,
.
Тогда получим
,
,
Возьмем полусумму и полуразность этих решений
Тогда мы получим Ф.С.Р. , что легко подтвердить, вычисляя определитель Вронского
.
Вычисляя его при x = 0, получим
Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид
ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения 
.
Составляем характеристическое уравнение 
. Его корни равны 
, тогда Ф.С.Р. есть
, 
,
отсюда находим общее решение уравнения 
.
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения 
.
Составляем характеристическое уравнение 
. Оно имеет один корень 
, тогда Ф.С.Р. есть
, 
,
отсюда находим общее решение уравнения 
.
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения 
.
Составляем характеристическое уравнение 
. Оно имеет комплексные корни 
, тогда Ф.С.Р. есть
, 
,
отсюда находим общее решение уравнения 
.
Конец примера.