Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Запись комплексного числа z = a + bi в виде z=r cos +isin называется тригонометрической формой комплексного числа. Модуль комплексного числа: r= a2+b2 Аргумент комплексного числа:cos =ra sin =rb

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=r1 cos 1+isin 1 и z2=r2 cos 2+isin 2 будет комплексное число вида z1 z2=r1 r2 cos( 1+ 2)+isin( 1+ 2)

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=r1 cos 1+isin 1 и z2=r2 cos 2+isin 2 будет комплексное число вида z2z1=r2r1 cos( 1− 2)+isin( 1− 2)

Свойство возведение в степень: Степень комплексного числа z=r cos +isin будет комплексное число вида r cos +isin n=rn cosn +isinn

Свойство извлечения корня: Корень из комплексного числа z=r cos +isin будет комплексное число вида nr cos +isin = nr cosn +2 k+isinn +2 k k=0;1;2; ;n−1

Формула Муавра : cos +isin n=cosn +isinn

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.

Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами.

Понятие комплексного числа.

Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Векторы. Операции над векторами.

Координаты векторов. Действия над векторами, заданными своими координатами.

. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:

(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).

В самом деле, для двух векторов (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) имеем

(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) =

= (x1e1 + y1e2 + z1e3) + (x2e1 + y2e2 + z2e3) =

= (x1 + x2) e1 + ( y1 + y2) e2 + (z1 + z2) e3 =

= (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).

Для суммы трех или большего числа векторов доказательство проводится аналогично.

2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:

(x1; y1; z1) — (x2; y2; z2) = (x1 — x2; y1 — y2; z1 — z2)

Доказательство проведите самостоятельно.

3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

В самом деле, для вектора (x1; y1; z1) и числа λ, имеем

λ(x1; y1; z1) = λ(x1e1 + y1e2 + z1e3) =

= (λx1)e1+ (λy1)e2 + (λz1)e3 = (λx1; λy1; λz1)

Деление отрезка в данном отношении.

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , ) и ( , ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам , .

Длина вектора.

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √ax2 + ay2