Производные основных элементарных функций
Пример 1. Пусть y=f(x)=C (С – произвольная константа). Найдем производную y′ этой функции. То есть найдем производную C′ константы С.
Решение. Его можно получить тремя способами.
а) Способ 1 – геометрический.
Графиком функции y=C является горизонтальная прямая. Касательной к этой прямой, проведенной в любой ее точке, будет она сама. Ее угол наклона α к оси ох равен нулю. Но tg0=0. Значит, y′=C′=0.
б) Способ 2 – физический.
Функция y=C от x не зависит, то есть с изменением x не меняется. А значит, скорость v(x) ее изменения равна нулю. Но ведь скорость изменения функции, согласно (1.7) – это производная функции. Таким образом, если y=C, то y′=C′=0. Физический смысл этого вывода очевиден: если координата y движущейся точки неизменна, то точка стоит. А значит, скорость ее движения равна нулю.
в) Способ 3 – математический.
Воспользуемся математическим определением (1.6) производной функции:
Итак, разными способами получаем один и тот же вывод: если y=C, то y′=C′=0.
Производная сложной функции.
Производные высших порядков.
Производные высших порядков
Если функция 
имеет производную в каждой точке 
своей области определения, то ее производная 
есть функция от . Функция 
, в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом 
. Таким образом
Пример:
Задание. Найти вторую производную функции 
Решение. Для начала найдем первую производную:
Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:
Ответ. 
Калькулятор для решения производных
http://www.webmath.ru/web/prog57_1.php
Дифференциал функции.
Дифференциал функции
Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно 
и нелинейного членов:
где 
при 
.
Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как 
или 
. Таким образом:
Замечание
Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.
Замечание
Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:
Замечание
Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:
Отсюда получаем, что
Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.