ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 3 страница
Пример 7. Доказать, что прямые:
скрещиваются и найти расстояние между ними.
Если прямые скрещиваются, то 
.
вектор 
.
Следовательно, прямые скрещиваются. Найдём расстояние между ними. Для этого найдём ещё:
.
Тогда
В заключение, решим ещё один пример.
Пример 8. Найти точку 
, симметричную данной точке 
относительно плоскости: 
С этой целью, запишем уравнение прямой 
, перпендику- лярной данной плоскости, проходящей через точку 
. Её направляющий вектор можем считать равным нормальному вектору заданной плоскости, т.е. 
. Тогда уравнения этой прямой имеют вид:
, или её параметрические уравнения:
Найдём точку пересечения данной прямой с исходной плоскостью, т.е. найдём значение параметра 
в точке пересечения:
Тогда точка пересечения прямой и плоскости имеет коорди- наты: 
. Точку, симметричную точке от- носительно плоскости можно найти из того условия, что точка 
- середина отрезка 
. Следовательно,
и, таким образом, 
P
§ 6. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.
Общее уравнение линии 2 – го порядка на плоскости имеет вид:
(1)
Для анализа этого уравнения нам понадобится понятие пре- образования координат на плоскости.
1. Параллельный перенос: пусть 
- старые координа- ты, а 
- новые координаты, полученные переносом на- чала координат из точки 
в точку 
.
Для произвольной точки 
получим
(2) и 
(3)
(2) - это формулы перехода от старых координат к новым, (3) - формулы обратного перехода. Параллельный позволяет убрать в уравнении (1) линейные слагаемые (т.е. слагаемые 
).
2. Поворот осей координат на угол 
.
Из построения видно, что
Таким образом, получены формулы перехода от старых коор -динат к новым:
(4)
Аналогичным образом можно получить формулы обратного перехода от новых координат к старым при повороте системы координат:
(5)
С помощью поворота системы координат избавляются от произведения 
в уравнении (1).
После преобразования уравнения (1) с помощью переноса и поворота системы координат, можем получить следующие уравнения: 
, или 
Рассмотрим сначала уравнение 
:
1. Если 
, то имеем уравнение эллиптического типа, причём, в случае 
, уравнение определяет эллипс (или окружность при 
; если же 
, то уравнение определяет мнимый эллипс ( или мнимую окружность); если 
, то данное определение задаёт точку.
2. Если 
, то имеем уравнение гиперболического ти- па, при этом, если , уравнение определяет гипербо- лу, если - сопряжённую гиперболу, если , то уравнение определяет две скрещивающиеся прямые.
Уравнения вида 
параболического типа. Определяют либо параболы, направленные или по оси 
, или по оси 
, либо две параллелельные прямые (если 
, то прямые параллельны оси ; если 
- то прямые параллельны оси ).
Рассмотрим теперь основные линии 2 – го порядка.
1. Окружность - это геометрическое место точек равноу-
далённых от данной точки, называемой её центром. Не име- ет смысла подробно останавливаться на рассмотрении этой линии, так как её уравнения хорошо известны из школьного курса математики: 
- окружность с центром в начале координат, или смещённая окружность с центром в точке 
: 
.
2. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место то-
чек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами, величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Введём систему координат следующим образом: пусть ось проходит через фокусы 
данной линии, а ось делит отрезок 
пополам и перпендикулярна оси .
фокусы, расстояние между ними 
, Тогда, по определению, 
Запишем данное равенство, используя формулу расстояния между точками:
Правую и левую часть равенства возведём в квадрат и раскроем скобки:
После преобразования имеем 
Возводя полученное равенство в квадрат, получаем:
или 
.
По определению, 
. Тогда существует единственное число 
, такое что 
. Получаем: 
. Окончательно, равенство:
(6) определяет каноническое уравнение эллипса.
Ввиду того, что переменные входят в уравнение во второй степени, эта линия симметрична относительно осей ко- ординат. Следовательно, достаточно построить график 
в первой четверти ( 
) и симмет- рично отобразить его в другие координатные плоскости. Оче- видно, что 
, 
. Построим линию:
Величины и называются большой и малойполуоями эллипса, при этом расстояние от начала координат до фокусов равно 
. Величина 
называется эксцентриситетом и характеризует вытянутость эллипса. Для эллипса 
. В случае 
, эллипс превращается в окружность.
Может оказаться, что 
, и тогда большая полуось - это . В этом случае, 
, эксцентриситет 
и, так как фокусы всегда находятся на больших полуосях, то они имеют следующие координаты: 
. Получаем следующий рисунок.
Оптическое свойство эллипса. Если источник света поме-щён в один из фокусов эллипса, то отражённый луч попадает в другой фокус.
Рассмотрим пример. привести уравнение линии к каноничес- кому виду и построить эту линию: 
.
Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:
Получили каноническое уравнение эллипса в смещённой сис- теме координат 
, начало отсчёта кото –рой имеет координаты: 
: 
. Полуоси этого эллипса: 
.
Тогда её эксцентриситет 
. Построим линию.
O 2 x
-6 6
-3
3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое мес- то точек, для которых модуль разности расстояний до двух точек, называемых фокусами, величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
По определению, 
. Тогда
Возведём это равенство в квадрат:
Раскроем скобки и изолируем корень:
Возведём в квадрат полученное равенство и раскроем скобки:
. Но, по определению гипер- болы, 
и получается:
. Разделив это равенство на правую часть, получаем каноническое уравнение гиперболы:
. (7)
Ввиду того, что переменные входят в уравнение во второй степени, эта линия симметрична относительно осей ко- ординат и относительно начала координат. Следавательно, достаточно построить график 
в первой чет- верти ( ) и симметрично отобразить его в другие координатные плоскости. Из данного уравнения видим, что оно имеет смысл только в случае, если 
. возрастает по мере увеличения и причём график линии по мере увели- чения приближается к прямой 
, не пересекая эту прямую. Эта прямая является асимптотой данной линии.
Ввиду симметрии, гипербола имеет две асимптоты: 
. Построим гиперболу:
Асимптоты гиперболы - это прямые, проходящие через диаго -нали основного прямоугольника со сторонами, раными 
и 
, соответственно.
В уравнении (7), называется действительной полуосью ги- перболы, - мнимой полуосью. В результате преобразований уравнения второго порядка мы можем получить также уравне- ние следующего вида:
(8)
Оно задаёт уравнение сопряжённой гиперболы, которая выгля- дит следующим образом:
Для сопряжённой гиперболы - мнимая полуось, - действительная полуось. Сопряжённая гипербола имеет те же асимптоты . Как для случая гиперболы, так и для случая сопряжённой гиперболы, полуфокусное расстояние равно :
. Для случая гиперболы, фокусы имеют коорди –наты: 
, для случая сопряжённой гиперболы: