ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 5 страница
Окружность с центром в начале координат в полярных координатах имеет уравнение
или
.
Если задано уравнение линии в полярных координатах , то чтобы построить данную линию в полярной сис- теме координат, заполняют таблицу значений этой функции в точках, вычисленных для значений аргумента
, причём, чем больше
, тем точнее будет построение линии.
Пример 1. Построить линию: .
Заполнить таблицу значений данной функции:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() |
Построим данную линию
При построении линии в полярных координатах можно по -ступать и иначе, а именно, используя свойства соответствую- щих функций.
Пример 2. Пусть дано уравнеие . Так как
, то максимальное значение данная функция принимает при
-
; мини –мальное значение будет в точке
-
.
Так как чётная функция, то
также чётная функция и поэтому соответствующая линия симме- трична отностьельно полярной оси. Таким образом, получаем линию:
Эту линию называют кардиоидой, имея ввиду её форму.
Пример 3. Построить линию .
Достаточно построить данную линию на промежутке , так как период данной функции равен
. Учитывая, что
в промежутке
, следовательно
. После этого, учитывая периодичность функции, можно построить ещё две части этой линии, которые получаются при
.
В заключение параграфа напишем уравнение эллипса, ги - перболы и параболы в полярных координатах.
Пусть
- дуга эллипса, гиперболы или параболы:
Совместим фокус с полюсом, а ось симметрии - с по- лярной осью. Точка
выбрана так, что
. По свойству директрисы:
. Пусть
,
или
. Для точки
имеем
. Тогда,
. Обозначив
, получим
. Сле- довательно,
, отсюда:
, или
. Окончательно получаем уравнение:
. (3)
При - это уравнение эллипса; при
- это уравнение одной ветки гиперболы; при
- это урав – нение параболы.
Пример 4. Построить линию и записать её уравнение в декартовой системе координат.
Можно произвести построение данной линии непосред- ственно в полярной системе координат, как в примере 1. Но в данном случае, учитывая формулу (3), это уравне -ние эллипса с . Поэтому более удобно сначала перейти к декартовым координатам и только после этого построить линию (менее трудоёмкий вариант решения). Преобразуем уравнение линии:
. Исполь –зуя формулы (1) и (2), получаем:
(4) обе части полученного равенства возведём в квадрат:
Получено каноническое кравнение эллипса:
Его центр симметрии , полуоси
Построим данную линию:
4 5
Уравнение вида такжа определяет линию 2 – го порядка, но в этом случае сдвиг точки
происходит вле- во, а уравнение
приводит к смещению линии по оси
.
§ 8 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
I. Уравнение поверхности.
Уравнение F(x, y) = 0 определяет на плоскости некоторую линию, т. е. множество всех точек плоскости Оху, координаты которых х и у удовлетворяют этому уравнению. Подобно этому уравнение
F(x,y,z) = 0, (1) определяет в пространстве Охуz некоторую поверхность, т. е. множество всех точек, координаты которых х, у, z удовлетворяют уравнению F(x, у, z) = 0. Уравнение (1) называется уравнением этой поверхности, а х, у, z — ее текущими координатами. Часто, однако, поверхность задается не уравнением, а как мно- жество всех точек, обладающих тем или иным свойством. В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя из ее геометрических свойств.
Пример. Найти уравнение сферы радиуса R с центром в точке
Решение. Согласно определению сферы, расстояние любой ее точки М (х,у, z) от центра равно радиусу R, т. е.
M=R. Но
Следовательно, или
(2)
Мы получили искомое уравнение сферы, так как ему удовлетворяют координаты любой ее точки и, очевидно, не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.
В частности, если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение сферы примет следующий вид:
.
Раскрыв скобки и перенеся все члены в левую часть уравнения (2), получим
Это уравнение второй степени относительно текущих координат х, у и z. В нем отсутствуют члены с произведениями координат, а коэффициенты при х2 , у2 и z2 равны между собой. Любое уравнение второй степени относительно х, у и z , в котором коэффициенты при х2, y2 и z2 равны между собой, а член с произведением координат отсутствует, есть, вообще говоря, уравнение сферы. Точнее, такое уравнение с помощью выделения полных квадратов всегда может быть приведено к виду:
. (3)
Если при этом >0, то уравнение (3) является уравнением сферы с центром в точке
и радиусом R =
. При k = 0 уравнению удовлетворяют координаты лишь одной точки
. Если же
<0, то уравнение не определяет никакой поверхности.
Пример.Доказать, что уравнение
является уравнением сферы, и найти центр и радиус этой сферы.
Решение. Преобразуя левую часть данного уравнения, полу- чим
или
.
Мы получили уравнение сферы с центром в точке О(1; - 2; - 3) и радиусом R = 4.