Экспоненциальная модель изменения

Погрешности

В реальности для одних приборов межремонтные интервалы уменьшаются, для других — увеличиваются. Это может быть объяснено тем, что погрешность СИ с течением времени экспоненциально возрастает или убывает. При ускоряющемся возрастании погрешности (рис. 13.2,6) каждый последующий межремонтный интервал короче предыдущего, и частота метрологических отказов w(t) с течением времени возрастает. При замедленном возрастании погрешности (рис. 13.2,в) каждый последующий межремонтный интервал длиннее предыдущего и частота метрологических отказов w(t) с течением времени убывает вплоть до нуля.

Для рассмотренных случаев изменения погрешности во времени описываются на основе экспоненциальной модели. В ней частота метрологических отказов

(13,3)

где w₀ -— частота метрологических отказов на момент изготовления средства измерений (т.е. при t = 0), год^-1; и — положительное или отрицательное ускорение процесса метрологического старения, год^-1. Число отказов n(t) определяется через частоту отказов w(t) и при ее экспоненциальном изменении согласно формуле (13.3), рассчитывается как

Тогда изменение во времени погрешности СИ с учетом формулы (13.2) имеет вид

(13.4)

Указанная зависимость показана кривыми 1 на рис. 13.2, б и в.

Практическое использование формулы (13.4) требует знания четырех параметров: начального значения погрешности (D₀), абсолютного запася погрешности (D₃), начальной частоты метрологических отказов (w₀) при t = 0 и ускорения (а) процесса старения. Уравнения для определения названных параметров, получаемые из (13.4), оказываются трансцендентными, что существенно затрудняет их применение.

С целью упрощения использования уравнения (13.4) необходимо разложить в ряд экспоненциальную функцию и* взять три первых члена этого разложения, В результате зависимость погрешности СИ от времени будет представлена в виде

(13.5)

где v — начальная скорость возрастания погрешности, %; а_D — абсолютное значение ускорения изменения погрешности, %. В частном случае, когда а = 0, (13.5) превращается в линейное уравнение вида (13.1).

Выражение (13.5) имеет ясный физический смысл и позволяет путем аппроксимации экспериментальных данных о погрешностях СИ за 10-15 лет получить оценки коэффициентов v и а_D, а по ним рассчитать параметры уравнения (13.4) в виде w₀ = v/D₃ и а = а_D /(D₃w₀).

Расчет времени наступления метрологического отказа сводится к определению моментов пересечения кривой D_0б95(t) постоянных уровней D₀ + D₃, D₀ + 2D₃, ..., D₀ + nD₃. Они могут быть найдены путем совместного решения уравнений (13.2) и (13.4). Момент наступления n-го отказа и соответственно длительность межремонтных периодов можно определить по формулам

(13.6)

Срок службы СИ — это календарное время, прошедшее с момента его изготовления до конца эксплуатации. При положительном ускорении процесса старения (см. рис. 13.2,б) частота отказов с увеличением срока службы возрастает и по истечении времени Т_сл его приходится настолько часто ремонтировать, что эксплуатация становится экономически невыгодной, так как дешевле купить новый прибор. Экономическая целесообразность ремонта определяется отношением средней стоимости одного ремонта с_р к стоимости с_и нового средства измерений, названного [5] относительной глубиной ремонта с = с_р/с_н. Срок службы СИ

(13.7)

Решая полученное уравнение совместно с первым выражением из (13.6), можно рассчитать общее число отказов (ремонтов) СИ в течение срока эксплуатации.

Пример 13.1. Для электромеханических измерительных приборов магнитоэлектрической системы класса точности 0,5 глубина ремонта составляет с = 0,3... 0,4; частота метрологических отказов на момент изготовления СИ w₀» 0,11 год^-1, ускорение процесса старения а »0,19 год^-1. Определите срок службы таких приборов и общее число отказов.

Срок службы прибора рассчитывается по формуле (13.7):

Уравнение для расчета общего числа отказов имеет вид

Подставив в него всечисловые данные, получим

Данные расчета соответствуют экспериментальным данным, согласно которым средний срок службы рассматриваемых приборов составляет 11-12 лет, в течение которых они имеют по 4-6 ремонтов.

При отрицательном ускорении процесса старения СИ межремонтный период увеличивается. После некоторого числа ремонтов п_£ он становится бесконечным, метрологические отказы не возникают и СИ работает до тех пор, пока морально не устареет. В этом случае (a < 0) число метрологических отказов

Погрешность СИ стремится к пределу, равному, согласно (13.4),

(13.8)

Экспоненциальная модель процесса старения позволяет описать изменения погрешности СИ при увеличении его возраста от„ года и практически до бесконечности. Однако данная модель имеет ряд недостатков. Для СИ с отрицательным ускорением процесса старения она прогнозирует при t ®¥стремление погрешности к предельному значению (13.8). В то же время для СИ с положительным ускорением модель прогнозирует неограниченное возрастание погрешности с течением времени, что противоречит практике.