Тема 2.2. Дифференциальное исчисление
Понятие производной функции и ее геометрический смысл.
Производные обратной и сложной функции.
Правила и формулы дифференцирования.
Приложения производной функции.
Пункт 1. Понятие производной функции и ее геометрический смысл.
Пусть функция определена на промежутке
. Точка
- произвольная точка из области определения функции,
- приращение функции в точке
, вызванное приращением
независимой переменной
.
Производной функции по независимой переменной
в точке
,
называется предел отношения приращения функции
к приращению
при стремлении
к нулю, т.е.
Обозначение:
Дифференцирование - операция нахождения производной.
Чтобы вычислить производную функции в точке хо, нужно в общее выражение производной вместо независимой переменной х подставить числовое значение
х = хо, т.е. вычислит значение f’(xo). Таким образом, производная в данной точке хо есть число.
Геометрический смысл производной: Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке и ее уравнение имеет вид
.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
. Рассмотрим приращение функции в этой точке:
. Функция
называется дифференцируемой в точке, если ее приращение можно записать в виде
, где
- приращение независимой переменной,
А – постоянная, не зависящая от ,
- бесконечно малая функция при
.
Дифференциалом функции в точке
называется линейная по
часть
приращения
. Дифференциал обозначается
, то есть
.
Другими словами, дифференциал функции выражается формулой .
Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной:
. Аналогично определяют производную любого порядка:
.
Пункт 2. Производные обратной и сложной функций.
Пусть - функция, дифференцируемая в точке
,
- функция, дифференцируемая в точке
, причем
. Тогда
- сложная функция независимого переменного
, дифференцируема в точке
и ее производная в этой точке вычисляется по формуле
.
Обычно называют внешней функцией, а
- внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.
Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на
. Пусть также в точке
производная
. Тогда в точке
определена дифференцируемая функция
, которую называют обратной к
, а ее производная вычисляется по формуле
.
Пункт 3. Правила и формулы дифференцирования.
Правила дифференцирования
Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (с) ' = 0,
2) (cu) ' = cu';
3) (u+v)' = u'+v';
4) (uv)' = u'v+v'u;
5) (u/v)' = (u'v-v'u)/v2;
Формулы дифференцирования
1. (un)' = n un-1 u'
2. (au)' = au lna u'.
3. (eu)' = eu u'.
4. (loga u)' = u'/(u ln a).
5. (ln u)' = u'/u.
6. (sin u)' = cos u u'.
7. (cos u)' = - sin u u'.
8. (tg u)' = 1/ cos2u u'.
9. (ctg u)' = - u' / sin2u.
10. (arcsin u)' = u' / .
11. (arccos u)' = - u' / .
12. (arctg u)' = u'/(1 + u2).
13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u2).
Примеры:
Вычислите производную функции.
1. .
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
8.
9.
10.
.
Вычислите производную сложной функции.
11. , где
.
12. , где
.
13. , где
.
14. , где
.
15. , где
.
16. , где
.
17.
18.
19.
20.
Вычислить вторую производную функции.
21.
22.
23.
![]() |

.
Вычислить дифференциал функции.
24. ;
.
25.
26. ;