Пункт 4. Приложения производной
Функция называется возрастающей на интервале
, если для любых x1 и x2 из этого интервала, для которых
, верно неравенство
.
Функция называется убывающей на интервале
, если для любых x1 и x2 из этого интервала, для которых
, верно неравенство
.
Необходимое условие возрастания функции. Если функция дифференцируема и возрастает на интервале
, то
для всех
из этого интервала.
Необходимое условие убывания функции. Если функция дифференцируема и убывает на интервале
, то
для всех
из этого интервала.
Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция дифференцируема на интервале
. Если во всех точках этого интервала
, то функция возрастает на этом интервале, а если
, то функция убывает на этом интервале.
Точка x = x0 называется точкой максимума, а число — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство
.
Точка x = x0 называется точкой минимума, а число — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с точкой x0 , выполняется неравенство
.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие существования экстремума
Если x0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.
Достаточное условие существования экстремума
Если функция непрерывна в точке x = x0 , дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x0 производная
меняет знак, то x = x0 — точка:
а) — максимум, если
, при
и
, при
.
б) — минимум, если
, при
и
, при
.
Число называется наибольшим значением функции на отрезке
, если для всех
из этого отрезка выполняется неравенство
; число называется наименьшим значением функции на отрезке
, если для всех
из этого отрезка выполняется неравенство
.
Функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение в точках экстремума или на границе. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке руководствуются следующим правилом: находят все критические точки функции (производная равна нулю), лежащие внутри отрезка, и находят значения функции в этих точках и на концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет наибольшим, а наименьшее из этих значений — наименьшим значением функции на отрезке.
Пример.
27.Найти наименьшее и наибольшее значение функции: на отрезке
.
Решение.
Находим и приравниваем к нулю:
или
.
Решая уравнение, находим критические точки , причем обе лежат внутри отрезка.
Находим значение функции
. Наибольшее значение равно 4, а наименьшее -5.
Если график функции имеет касательную в точке x = x0 , и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x0 ; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.
График называется выпуклым (вогнутым) на интервале
, если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Если функция дважды дифференцируема на интервале
и для каждого
, то график функции
является выпуклым (вогнутым) на этом интервале.
Точка называется точкой перегиба графика функции
, если в этой точке существует касательная и это точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.
Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 — точка перегиба графика функции , то
или не существует.
Достаточные условия точки перегиба. Если функция дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку
меняет знак, то x0 — точка перегиба графика функции
.
Асимптотой данной кривой называется такая прямая, при которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю, при неограниченном удалении точки на кривой от начала координат.
Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой, если .
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
, где
.
План исследования функции
Если требуется построить график функции , то надо предварительно исследовать эту функцию. Для исследования рекомендуется следующий план:
1) найти область определения ;
2) найти точки разрыва, вертикальные асимптоты;
3) найти асимптоты;
4) найти точки пересечения графика с осями координат;
5) определить четность или нечетность
, т.е. является ли график этой функции симметричным относительно оси ординат, или начала координат, или же такой симметрии нет;
6) найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания;
7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. На основании этого исследования строится график функции.
Если в каких-то местах ход графика остается неясным, то находят дополнительные точки на этом графике.
Пример.
28.Исследовать функцию и построить ее график.
Решение:
1.
2. Точка разрыва , вертикальная асимптота
.
3. Найдем невертикальную асимптоту .
Итак, уравнение невертикальной асимптоты .
4. При находим точку пересечения с осью ординат
. При
получаем уравнение
. Это уравнение не имеет решений
, следовательно, график не имеет пересечения с осью абсцисс .
5. Проверим, является ли функция четной или нечетной.
Функция не является ни четной, ни нечетной, поэтому у ее графика нет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
6. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
Найдем критические точки, приравняв производную нулю:
Критические точки и
. Эти точки разбивают область определения функции на четыре интервала. Рассмотрим результат исследования в таблице.
х | (– ![]() | –2 | (–2;–1) | (–1;0) | (0;+ ![]() | |
y' | + | – | – | + | ||
y | возрастает | max | убывает | убывает | min | возрастает |
7. Определим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Итак, не обращается в нуль ни в одной точке, следовательно, точек перегиба нет. Построим таблицу:
х | (– ![]() | (–1;+ ![]() |
y' | – | + |
y | ![]() | ![]() |
Занесем все данные в одну общую таблицу:
х | (– ![]() | –2 | (–2;–1) | (–1;0) | (–1;+ ![]() | |
y' | + | – | – | + | ||
y' | – | – | + | + | ||
y | возрастает ![]() | max –2 | убывает ![]() | убывает ![]() | min 2 | возрастает ![]() |
Учитывая проведенное исследование, построим график: