Метод интегрирования по частям
Техника интегрирования
Методические указания и варианты заданий
Барнаул 2010
УДК 517 (075)
Э.И. Вингисаар, Е.В. Колбина Техника интегрирования: методические указания и варианты заданий. – Алт. гос. техн. ун – т им. И.И. Ползунова. – Барнаул: АлтГТУ, 2010. – с. 105
Данная работа содержит большое число интегралов, разнообразных как по различным методам интегрирования, так и по сложности. Знаком «*» отмечены интегралы повышенной сложности.
Методические указания можно использовать для самостоятельной работы студентов, так как в них приведены примеры вычисления многих интегралов и дан достаточный справочный материал.
Из интегралов, содержащихся в индивидуальных заданиях можно формировать расчетные работы разной степени сложности в зависимости от программы специальности и уровня подготовленности студентов. Можно так же проводить контрольные опросы, указав отдельные пункты заданий.
Рекомендовано к изданию на заседании
кафедры высшей математики АлтГТУ
Протокол № 3 от 11.11.2010 г.
Рецензент – доцент Кантор Е.И.
Оглавление
| 1. Непосредственное интегрирование…………………………... | |
| 2. Метод подведения под знак дифференциала………………... | |
| 3. Метод замены переменной…………………………………….. | |
| 4. Метод интегрирования по частям……………………………. | |
| 5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен…………………………………………… | |
| 6. Интегрирование рациональных функций…………………... | |
| 7. Интегрирование тригонометрических функций…………… | |
| 8. Тригонометрические подстановки…………………………… | |
| 9. Интегрирование иррациональных функций. ………………. | |
| 10. Подстановки Эйлера…………………………………………... | |
| 11. Приложения……………………………………………………. | |
| 12. Типовые расчеты……………………………………………… |
Непосредственное интегрирование
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
Свойства линейности неопределенного интеграла:
1) 
2) 
Метод подведения под знак дифференциала
Этот метод часто используется для сведения данного интеграла к табличному или более простому и применяется в тех случаях, когда подынтегральное выражение содержит какую-либо функцию и ее производную.
Для использования метода подведения под знак дифференциала необходимо знать:
1) свойства дифференциала
а) 
б) 
в) 
где а, b – некоторые действительные числа.
2) свойства неопределенного интеграла
а) 
,
б) 
, где 
.
3) таблицу производных.
4) таблицу интегралов.
Пример 1.
Далее можно использовать один из вариантов решения.
1 вариант:
2 вариант:
Пример 2.
Пример 3.
Метод замены переменной
Если 
непрерывна и функция 
непрерывна вместе со своей производной, то справедлива формула 
.
Правило подстановки.
Чтобы вычислить интеграл 
а) заменяем 
какой-нибудь обратимой функцией 
находим 
б) вычисляем полученный интеграл;
в) в найденном ответе производим обратную замену 
на 
.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Замечание: подбирать выгодные подстановки можно научиться тренировкой. Существуют стандартные подстановки для некоторых типов интегралов.
Интегралы вида:
и 
легко интегрируются подстановкой 
Пример 6.
.
Пример 7.
Метод интегрирования по частям
Пусть 
и 
- непрерывно дифференцируемые функции, тогда имеет место равенство 
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Ее смысл состоит в том, что нахождение интеграла 
сводится к отыскания другого интеграла 
, который либо проще исходного, либо подобен ему. Иногда интегрирование по частям приходится применять несколько раз в одной задаче.
Чтобы не ошибиться в составлении правой части формулы, используйте схему:
Перечислим некоторые типы интегралов, в которых следует применять метод интегрирования по частям.
I тип
где 
- многочлен, 
в схеме: 
Пример 1.
Пример 2.
II тип
где 
- многочлен, 
в схеме: 
Пример 3.
Пример 4.
III тип(Особые, так называемые «циклические» интегралы)
и т.д.,
где 
Алгоритм решения
1) Применить формулу интегрирования по частям один или два раза, пока не получится интеграл, такой же как данный;
2) этот интеграл обозначить за I;
3) решить полученное уравнение относительно неизвестной I;
4) в конце выражения приплюсовать константу С.
Пример 5.
Пример 6.
2) пусть 
4) 
.