Интегрирование иррациональных функций
I. Интегралы вида:
1) 
2) 
где a,b,c,d – действительные числа, р1,…, рk, q1,…qk – целые числа,
n1,…, nk, m1,…mk – натуральные числа.
Для их решения следует применять подстановки:
1) 
где s – наименьшее общее кратное чисел n1,…, nk
2) 
где s – наименьшее общее кратное чисел m1,..., mk
Для решения примеров также необходимо вспомнить:
1) формулы сокращенного умножения;
2) свойства степеней.
Пример 1.
Пример 2.
II. Интегралы вида 
где а, b – действительные числа, m, n, p – рациональные числа.
Выражение 
называется дифференциальным биномом, его интегрирование возможно только в трех случаях.
1) р – целое число,
тогда используем постановку 
, где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n.
2) 
- целое число,
тогда 
где k - знаменатель дроби p.
3) 
- целое число,
тогда 
(или 
), где k - знаменатель дроби p.
Во всех остальных случаях интегралы от дифференциального бинома являются «неберущимися».
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Подстановки Эйлера
Интеграл вида 
можно свести к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок Эйлера.
1) Если 
, то используем 1 подстановку Эйлера 
возведя оби части равенства в квадрат, можно найти 
и 
.
2) Если 
, то используем 2 подстановку Эйлера 
преобразования аналогичны.
3) Если квадратный трехчлен 
имеет два действительных корня 
и 
, то применяем 3 подстановку Эйлера 
причем неважно какой корень взять.
Замечание 1.
При использовании 1 и 2 подстановок Эйлера знак «+» или «-» выбирается, исходя из условия так, чтобы полученная рациональная функция максимально упростилась.
Замечание 2.
Прежде чем применить подстановки Эйлера, нужно внимательно посмотреть на интеграл.
Если он имеет вид 
, то рациональнее решить с помощью выделения полного квадрата (см. стр. 15 ).
Если он имеет вид 
или 
, то лучше применить подстановку 
(см. стр. 9 )
Замечание 3.
На самом деле достаточно использовать только 1 и 3 подстановки Эйлера.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Приложения:
1. Формулы сокращенного умножения.
2. Свойства степеней.
3. Свойства логарифмов.
4. Тригонометрические формулы.
5. Таблица производных.
6. Правила дифференцирования.
7. Таблица дифференциалов.
Формулы сокращенного умножения
Свойства степеней
где p, q – рациональные числа, m – целое число, n – натуральное число
Свойства логарифмов
где 
Тригонометрические формулы
Таблица производных
Правила дифференцирования
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Таблица дифференциалов
