Поверхности вращения второго порядка

Определение 1.5. Поверхностью вращения второго порядканазывается поверхность, образованная вращением линии второго порядка вокруг её оси (рисунки 1.8–1.12).

1) Эллипсоид вращения

Рисунок 1.8

При вращении эллипса , х = 0 вокруг оси Оz получим поверхность, которая называется эллипсоидом вращения. При а = с получаем сферу х² + у² + z² = a².

2) Однополостный гиперболоид

Рисунок 1.9

Однополостный гиперболоидобразуется при вращении гиперболы , х = 0 вокруг оси Оz.

3) Двуполостный гиперболоид

Рисунок 1.10

Двуполостный гиперболоидобразуется при вращении гиперболы , х = 0 вокруг оси Оz.

4) Конус вращения

Рисунок 1.11

Конус вращенияобразуется при вращении прямых , х = 0 вокруг оси Оz.

5) Параболоид вращения

х² + у² = 2рz или

Параболоид вращенияполучается вра-щением параболы у² = 2рz, х = 0 вокруг оси Оz

Поверхности второго порядка

1. Трёхосный эллипсоид

(рисунок 1.13).

Рисунок 1.13

2. Однополостный гиперболоид

3. Двуполостный гиперболоид .

4. Конус второго порядка .

5. Эллиптический параболоид .

6. Гиперболический параболоид

(рисунок 1.14).

Рисунок 1.14

Вопросы для самоконтроля

1. Как проверить, лежит ли данная точка на поверхности, заданной уравнением?

2. Всегда ли два уравнения с тремя переменными определяют некоторую линию в пространстве? Приведите примеры.

3. Какое множество точек представляет собой уравнение с двумя переменными, если его рассматривать в пространстве?

4. При каких условиях общее уравнение второй степени с тремя переменными определяет сферу? Как найти ее центр и радиус?

5. Как записать уравнение поверхности вращения, полученной при вращении плоской линии f(x, y) = 0 вокруг оси Ox? Приведите примеры.

6. Каков характерный признак, отличающий уравнение плоскости в декартовых координатах от уравнения других поверхностей?

7. Как будет располагаться плоскость относительно осей координат, если в ее уравнении отсутствуют те или иные члены?

8. Как определить направляющий вектор прямой, если она задана общим уравнением?

9. Как определяется угол между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью?

10. Каковы условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости?

11. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

12. При каких условиях данная прямая лежит в данной плоскости?

13. Как найти расстояние от точки до плоскости?

14. Напишите виды и уравнения цилиндров второго порядка.

15. Напишите виды и уравнения поверхностей вращения второго порядка.

16. Напишите виды и уравнения поверхностей второго порядка.

Линейные пространства