Необходимое и достаточное условие экстремума

Рассмотрим функцию у = f (x), определённую на промежутке ( ). Пусть х₀Î ( ), δ – некоторое положительное число. Будем называть δ-окрестностью точки х₀ интервал (х₀− δ; х₀+ δ) и обозначать его О(х₀; δ).

Определение 8.4.Если можно указать такую δ-окрестность точки х₀, принадлежащую ( ), что для всех х Î О(х₀; δ), х ≠ х₀ выполняется неравенство f (x₀) > f (x), то у₀ = f (x₀) называют максимумом функции у = f (x)и обозначают через max f (x) (рисунок 8.1).

Если же для всех х Î О(х₀; δ), х ≠ х₀ выполняется неравенство f (x₀) < f (x), то у₀ = f (x₀) называют минимумом функции у = f (x)и обозначают через min f (x) (рисунок 8.2).

Рисунок 8.1

Рисунок 8.2

Отметим, что максимум и минимум функции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значение функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рисунок 8.3).

Определение 8.5.Максимум и минимум функции называют экстремумом.Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Теорема 8.3. (необходимое условие экстремума).

В точке экстремума дифференцируемой функции производная её равна нулю.

Рисунок 8.3

Доказательство. Пусть х₀ – точка экстремума дифференцируемой функции f (x). Для определённости положим, что х₀ – точка максимума. Тогда для достаточно малых

(

< δ, δ > 0)

, поэтому

. Теперь

< 0 при > 0;

> 0 при < 0;

откуда ≤ 0,

≥ 0.

Так как функция дифференцируема, то

0 ≤ = f '(x₀) = ≤ 0,

откуда следует f '(x₀) = 0. Аналогично рассматривается случай, когда х₀ – точка минимума функции.

Замечание 8.1. Если f '(x₀) = 0, то отсюда ещё не следует, что х₀ – точка экстремума. Например, для функции f (x) = x³, f '(x) = 3x², f '(0) = 0, но х₀ = 0 не является точкой экстремума, т. к. f (x) > 0 при х > 0 и f (x) < 0 при х < 0 (рисунок 8.4).

Замечание 8.2.Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция у = не имеет производной в точке х₀ = –1, но достигает в ней максимума (рисунок 8.5).

Функция у =

не имеют конечной производной в точке х₀ = 0, т. к. у' =

при х = х₀ = 0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум (рисунок 8.6).

Определение 8.6.Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарные точки, а также точки, в которых функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими.

Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.

Определение 8.7.Говорят, что функция у = f (x) меняет знак при переходе через точку х = х₀,если f (x₁)f (x₂) < 0 для любых х₁, х₂ из некоторой окрестности этой точки, удовлетворяющих неравенствам х₁ < x₀ < x₂; знак меняется с плюса на минус, если f (x₁) > 0, f (x₂) < 0; знак меняется с минуса на плюс, если f (x₁) < 0, f (x₂) > 0.