Опуклі функції та їх застосування до доведення нерівностей
Нерівність Єнсена
Розглянемо функцію , визначену та диференційовану на відрізку
і позначимо через
частину її графіка, що відповідає відрізку
.
Функцію
називають опуклою вгору (вниз) на відрізку
, якщо для довільної точки
крива
лежить нижче (вище) від дотичної до
, проведеної в точці
(рис. 1).
Серед деяких властивостей опуклих функцій відмітимо ті, які в подальшому використаємо при доведенні деяких нерівностей.
1. Якщо функція на відрізку
опукла вгору, то для двох довільних різних точок
виконується нерівність
.
2. Якщо функція на відрізку
опукла вниз, то для двох довільних різних точок
виконується нерівність
.
Доведення обох тверджень очевидне. Зокрема у першому випадку достатньо побачити, що довжина відрізка
, який дорівнює
, менша від довжини відрізка
, який дорівнює
(рис. 2).
3. Якщо функція на відрізку
опукла вгору і числа
не всі рівні між собою, то виконується нерівність
. (*)
4. Якщо функція на відрізку
опукла вниз і числа
не всі рівні між собою, то виконується нерівність
. (**)
Доведення двох останніх тверджень можна реалізувати за допомогою методу математичної індукції.
Нерівності (*), (**), які у математиці називають нерівностями Єнсена, можуть служити основою для складання та доведення різних нерівностей. Достатньо вибрати конкретну функцію, опуклу вгору або вниз та замінити нею функцію .
Наведемо приклади подібних доведень.
Задача 2.5.1. Довести, що для різних виконується нерівність
.
Доведення. Для доведення достатньо у співвідношенні (*) використати замість функцію
, графік якої на вказаному відрізку опуклий вверх.
Задача 2.5.2. Довести, що для довільних чисел виконується нерівність
.
Доведення. Тут ми повертаємося до розгляду задачі 1.3.2. У цьому випадку використовуємо співвідношення (**), а в ролі функцію
, графік якої при
опуклий вниз.
Задача 2.5.3. Порівняти числа та
.
Доведення. Розглянемо функцію , графік якої на проміжку
опуклий вниз. Застосувавши нерівність Єнсена у виді співвідношення (**), отримуємо
.
Тому
.
Задача 2.5.4. Довести, що правильний -кутник має найбільший периметр серед усіх вписаних в коло
-кутників.
Доведення. Нехай -кутник
вписаний у коло з центром у точці
та радіусом
. Позначимо
. Тоді
(знак строгої нерівності буде у випадку, коли центр кола лежить поза многокутником). Користуючись теоремою косинусів отримуємо, що для периметра многокутника
маємо
.
Оскільки і функція
на вказаній множині значень опукла вгору, то з нерівності Єнсена отримуємо, що
,
а саме останньому значенню дорівнює периметр правильного вписаного в коло многокутника.
Розглянемо, як нерівність Єнсена та наведені міркування можна використати для доведення класичних нерівностей між середніми. Як ми уже знаємо (розділ 1.7), для додатних чисел
такими є середнє арифметичне
, середнє геометричне
, середнє квадратичне
та середнє гармонічне
. Ці середні величини знаходяться у співвідношеннях
. Знак рівності в усіх випадках виконується тоді і тільки тоді, коли
рівні. Доведемо строгі нерівності, вважаючи
різними.
Для доведення першої нерівності , тобто
використаємо у ролі функцію
, графік якої опуклий вниз, та співвідношення (**). Відповідно до нього отримуємо
,
звідки, добувши корінь з обох частин, дістаємо шукане співвідношення.
Для доведення другої нерівності , тобто
використаємо у ролі функцію
, графік якої опуклий вгору, та співвідношення (*). Отримуємо
або
.
Потенціюючи одержаний вираз, отримуємо шукане співвідношення.
Для доведення останньої нерівності , тобто нерівності між середнім геометричним та середнім гармонічним
,
знову використаємо функцію , тільки співвідношення (*) застосуємо до чисел
. Отримуємо
або
,
що фактично завершує доведення потрібної нерівності.
Нерівність Юнга
Нехай
– неперервна строго зростаюча функція від
, і
(див. рис. 3). Розглядаючи площі, представлені відповідними інтегралами, ми переконуємося в тому, що
, (***)
де - функція, обернена до
. Легко бачити, що рівність тут має місце тільки при
. Ця нерівність називається нерівністю Юнга. Вибираючи у ролі
різні функції, ми отримуємо ряд цікавих результатів.
Візьмемо, наприклад, у ролі функції функцію
, p>1, оберненою до якої є функція
. У цьому випадку співвідношення (***) приймає вид
,
де .
Нехай і
. Тоді отримуємо, що при
виконується нерівність
.
Вибираючи в ролі функції функцію
та використовуючи обернену до неї функцію
із (***) знаходимо
.
Замінюючи на
, отримуємо нерівність
. Одержане співвідношення в математиці застосовується в теорії рядів Фур’є.
Нехай . Тоді
. Користуючись нерівністю Юнга, знаходимо
,
звідки отримуємо нерівність
.
При дістаємо
або
.
Таким чином, доведена нерівність .