Задача 3. Довести співвідношення
Розв’язання. Нехай незалежними змінними будуть параметри і
. Тоді
та
(1)
З іншого боку, основне рівняння термодинаміки (3.13) можна записати у вигляді
. (2)
Оскільки ми вважаємо: розписуючи повні диференціали
і підставляючи їх в (2), знайдемо:
(3)
Порівнюючи коефіцієнти в рівностях (1) і (3) при , отримуємо потрібний результат.
Задача 4. Показати, що теплоємність газу Ван-дер-Ваальса не залежить від об’єму.
Розв’язання. За визначенням маємо
(1)
Треба довести
Розглянемо співвідношення (3.19):
Диференціюючи його за при V = const, отримаємо
(2)
Оскільки для 1 моля газу Ван-дер-Ваальса то для нього
.
Підставляючи цей результат в (2), знаходимо
,
тому й , що й потрібно було довести.
Задача 5. Визначити рівняння адіабати газу Ван-дер-Ваальса в змінних .
Розв’язання. Диференціальне рівняння адіабати (2.13) можна записати як
(1)
Використовуючи формулу (3.21) для , перепишемо (1) у вигляді
або (після очевидних скорочень)
(2)
З рівняння Ван-дер-Ваальса для 1 моля маємо
(3)
Тоді з урахуванням (3) і після розділення змінних рівняння (2) набере вигляду
(4)
Інтегруючи (4), після алгебраїчних перетворень знаходимо
Якщо вважати , результат спрощується і рівняння адіабати набирає вигляду
Відзначимо, що в наближенні, коли це рівняння перетворюється на рівняння адіабати ідеального газу.
Задача 6. Яку роботу здійснює один моль газу Ван-дер-Ваальса при адіабатному процесі, коли його об’єм міняється від
до
? Початкова температура дорівнює
. Вважати
Розв’язання. З першого начала термодинаміки для адіабатного процесу маємо
або в розгорненому вигляді:
(1)
Беручи до уваги результати задачі 2 цієї глави, елементарну роботу , що здійснюється одним молем газу Ван-дер-Ваальса, можна записати як
(2)
Інтегруючи (2), знаходимо шукану роботу
де кінцева температура. Значення
знайдемо з рівняння адіабати газу Ван-дер-Ваальса (див. попередню задачу), згідно з яким
,
звідки
Задача 7. Два ідеальних гази з фіксованими об’ємами і постійними теплоємностями і
знаходяться в початкових станах з температурами
і
відповідно. Вони адіабатно ізольовані один від одного. Яку роботу
можна утворити, використовуючи перший газ у ролі джерела тепла, а другий у ролі поглинача до тих пір, доки не встановиться їх однакова температура
? Знайти вираз для
.
Розв’язання. Спочатку визначимо вираз для . Через адіабатну ізольованість газів зміна їх ентропії
в цілому (при рівноважних процесах утворення шуканої роботи) дорівнюватиме нулю:
(1)
де і
– зміна ентропій першого і другого газів відповідно від свого початкового стану до стану з температурою
. З формули (3.4) і з урахуванням
знаходимо
(2)
Підставляючи (2) в (1) і інтегруючи, отримаємо
звідки
Потрібну роботу можна отримати з закону збереження енергії як повне зменшення внутрішньої енергії газів. Дійсно, оскільки
, внутрішня енергія
, віддана першим газом у вигляді теплоти, дорівнюватиме
,
а внутрішня енергія , отримана другим газом у вигляді теплоти, дорівнюватиме
Отже,