Задача 7. Знайти статистичний інтеграл , внутрішню енергію і теплоємність ультрарелятивістського газу з законом дисперсії для окремої частинки, де – швидкість світла
Розв’язання. У межах канонічного розподілу Гіббса статистичний інтеграл 
для ультрарелятивістськього ідеального газу запишемо як
.
Конфігураційний інтеграл 
ідеального газу дорівнює: 
. Отже, переходячи до сферичних координат 
, матимемо
. (1)
Внутрішня енергія 
розраховується через статистичний інтеграл за формулою
. (2)
Тому, підставляючи (1) в (2), остаточно знаходимо:
та
.
Задача 8. Система являє собою стовп висотою і перетином одноатомного ідеального газу з частинок, які знаходяться в однорідному полі тяжіння з напруженістю . Визначити у граничних випадках: , .
Розв’язання. У нашому випадку повна енергія системи має вигляд
,
де 
– висота і-ї молекули газу. Для такої системи статистичний інтеграл Z можна записати у вигляді
,
що дає
.
Внутрішню енергію 
системи знаходимо за формулою (2) попередньої задачі:
. (1)
Отже, з (1) маємо
. (2)
Математичний аналіз точного результату (2) у граничних випадках дає:
1) при 
,
2) при 
.
Як бачимо, перший граничний випадок призводить до класичного значення 
для одноатомного ідеального газу у відсутності зовнішнього поля, що зрозуміло, оскільки при цьому припущенні поле тяжіння не впливає на рух частинок системи.
У другому випадку можна було б скористатися теоремою про віріал, що дало б такий самий результат. До речі, у першому випадку ця теорема не працює, оскільки не виконується вимога: 
при 
.
Задачі для самостійного розв’язування
12.1. За допомогою канонічного розподілу Гіббса показати, що диференціальний вираз для елемента кількості теплоти 
має інтегрувальний множник, і знайти цей множник.
12.2. Показати, що для класичного одноатомного газу з 
частинок, енергія якого може змінюватися у вузькому інтервалі 
біля значення 
, ентропію можна зобразити у вигляді
,
де 
– коефіцієнт, що залежить від .
12.3. Показати, що отриманий у попередній задачі вираз для ентропії ідеального газу, узгоджується з отриманим в термодинаміці (формула (3.27)).
12.4. Два тіла з постійними температурами 
○С і 
○С вступають у теплообмін, завдяки якому більш холодне тіло отримало кількість теплоти 
Дж. Знайти:
а) зміну ентропії системи;
б) зміну термодинамічної імовірності стану (числа доступних мікростанів) системи 
.
12.5. Відповідно до умови попередньої задачі знайти ймовірність зворотного переходу кількості теплоти Дж від холоднішого тіла до теплішого. Розглянути також випадок, коли 
Дж.
12.6. Виразити через статистичний інтеграл : термічне та калоричне рівняння стану, ентальпію 
, потенціал Гіббса 
та хімічний потенціал 
.
Розділ 13
СТАТИСТИЧНА ТЕОРІЯ КЛАСИЧНИХ
ІДЕАЛЬНИХ СИСТЕМ
Теоретичні відомості
Розподіли Максвелла – Больцмана, Больцмана, Максвелла. Система називається ідеальною, якщо її гамільтоніан 
можна зобразити у вигляді
, (13.1)
де 
– повна енергія і-ї частинки. До ідеальних систем відносяться ідеальний газ, випромінювання, тверде тіло (у гармонічному наближенні).
Розглянемо найпростішу з таких систем – ідеальний газ у відсутності зовнішнього силового поля. Конфігураційний інтеграл QN у цьому випадку легко розраховується, оскільки 
, якщо 
та 
, якщо 
. При цьому зразу одержуємо
. (13.2)
Тоді з (12.27) статистичний інтеграл Z матиме вигляд
(13.3)
або з урахуванням формули Стірлінга 
. (13.4)
Степеневий вигляд (13.4) дозволяє ввести статистичний інтеграл 
, який припадає на одну частинку:
, (13.5)
де n – число частинок в одиниці об’єму.
Розглянемо тепер ідеальний газ у деякому зовнішньому полі 
; тут 
– набор трьох координат і-ї частинки. Тоді з канонічного розподілу (12.16) матимемо фазову щільність 
однієї (умовно першої) частинки:
(13.6)
або детальніше у декартових координатах
, (13.7)
де 
. З (13.7) можна також одержати концентрацію 
частинок – середню їх кількість в одиниці об’єму. Розподіл (13.6) чи (13.7) називається розподілом Максвелла-Больцмана.
Якщо проінтегрувати 
за імпульсами 
, матимемо розподіл за координатами концентрації частинок ідеального газу у зовнішньому полі:
, (13.8)
де 
– концентрація частинок у точках, в яких 
. Цей розподіл називається розподілом Больцмана.
Проінтегрувавши (13.7) за координатами 
, одержимо розподіл Максвелла за компонентами імпульсу
, (13.9)
який легко перетворити й у розподіл за компонентами швидкості vх , vу , vz :
. (13.10)
Теорема про рівнорозподіл кінетичної енергії за ступенями вільності. Теорема про віріал.Визначення середніх значень за фазовою щільністю 
, як вже зазначалося, зводиться до розрахунку 
, що в загальному випадку є досить складною задачею. Однак внутрішню енергію 
(зокрема її кінетичну частину) можна вирахувати минаючи обчислення конфігураційного інтеграла. Покажемо це. Отже, позначимо через 
кінетичну енергію, яка припадає на і-тий ступінь вільності системи. Величину можна записати, використовуючи гамільтоніан Н усієї системи: 
. Знайдемо середнє значення 
за канонічним розподілом Гіббса. Матимемо
. (13.11)
Зобразимо багатовимірний інтеграл в (13.11) у вигляді
(13.12)
і обчислимо останній з них інтегруванням частинами, поклавши 
, 
. Одержимо
. (13.13)
Повертаючи результат (13.13) у (13.12), отримаємо
. (13.14)
Цей загальний результат класичної статистичної фізики називають теоремою про рівнорозподіл кінетичної енергії за ступенями вільності. Повна кінетична енергія 
матиме вигляд
, (13.15)
де ν – число ступенів вільності системи. Зазначимо, що кількість ν не обмежується лише поступальними ступенями вільності.
Аналогічний розрахунок можна провести з величиною
,
яка називається віріалом, що припадає на і-тий ступінь вльності. Однак для одержання рівності 
необхідно накласти обмеження на потенціальну енергію 
: 
при 
(чому?). Отже, результат
(13.16)
у класичній статистичній фізиці називають теоремою про віріал.
Якщо потенціальна енергія 
є однорідною функцією усіх своїх координат , користуючись (13.16), можна легко визначити кількісне значення 
величини . Дійсно, за теоремою Ейлера для однорідних функцій маємо
, (13.17)
де 11