Производная по направлению скалярного поля
Пусть - скалярное поле, заданное в области
.
- единичный фиксированный вектор. М – фиксированная точка,
.
- произвольная, отличная от М, точка из G, такая, что вектор
коллинеарен
. Пусть
- величина направленного отрезка
(равная
, если
и равная -
, если
).
Определение 2.Число называется производной скалярного поля в направлении
в точке М и обозначается символом
.
Производная скалярного поля в направлении в точке М равна скорости изменения поля в этой точке в данном направлении. Если
, то при перемещении из точки М в направлении
значение поля (функция
) возрастает, если
- убывает.
Пусть поле задано в декартовой системе координат и
- единичный вектор данного направления. Тогда производная скалярного поля в направлении
в точке M вычисляется по формуле:
=
+
,где α,β,γ – углы, образуемые вектором
с соответствующими осями координат и
.
Если , то
,
,
,
Для плоского поля производная по направлению вычисляется по формуле:
=
+
=
+
.
Пример 3.Установить характер изменения поля, заданного функцией в точке
в направлении от А к точке
.
Решение.
,
,
.
Значения производных в точке А:
=
+
Ответ: Т.к. поле убывает в направлении
.
Пример 4.Найти производную функции в точке
в направлении, составляющем угол
с положительным направлением оси ОХ.
Решение. Для плоского поля =
+
.
Значения производных в точке M: ,
.
Ответ:
Контрольное задание 2.
Найти производную функции:
1) в точке
в направлении вектора
, составляющем угол
с положительным направлением оси ОХ;
2) в точке
в направлении вектора
, где
;
3) в точке
в направлении вектора
;
Градиент скалярного поля.
Определение 3.Градиентом скалярного поля называется вектор-функция
, (1)
координатами которой являются соответствующие частные производные данной функции.
Если - единичный вектор данного направления, то из формулы (1) следует, что производная по направлению
- это скалярное произведение векторов
и
,т.е
.
Но
=
. Тогда
, т. к.
.
Здесь - угол между вектором градиента в данной точке и вектором
.
Отсюда следуют основные свойства градиента функции:
1. Вектор в данной точке указывает направление наибольшего роста поля (функции
) в этой точке. При этом
- наибольшее значение производной по направлению в точке M. (Таким образом, вектор
не зависит от выбора системы координат, а его модуль и направление в каждой точке определяются функцией
).
2. Градиент скалярного поля в точке М ортогонален к поверхности (линии) уровня поля, проходящей через точку М.
3. Если - поле постоянно, то его градиент равен 0.
4. Справедливы формулы:
а) ; б)
в) ; г)
д) , где U и V – скалярные поля.
е) .
Пример 5. Найти градиент электростатического поля , где е - заряд,
- расстояние от данной точки до заряда.
Решение. Данному полю принадлежат все точки пространства за исключением начала координат, где U обращается в бесконечность.
По определению: . Вычислим частные производные:
.
Ответ: .
Пример 6.Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке
.
Решение. Направление наибольшего возрастания поля указывает вектор градиента этого поля. .
Вычислим значения частных производных в точке M:
Наибольшая скорость возрастания равна наибольшему значению производной по направлению точке M
Ответ: Наибольшая скорость возрастания функции
Контрольное задание 3.
1)Найти градиент скалярного поля в точке
.
2) Найти наибольшую скорость возрастания поля в точке
.
3) Найти производную функции в точке
в направлении, перпендикулярном к линии уровня, проходящей через данную точку.
4) В каких точках градиент скалярного поля :
а) параллелен оси OZ; б) перпендикулярен оси OZ; в) равен 0?
5) Найдите угол между градиентами скалярного поля в точках
и
Векторные линии поля.
Определение 4.Векторными линиями векторного поля называются такие линии, у которых касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля.
В физике это понятие для конкретных полей имеет физический смысл, например, векторные линии поля тяготения, электрического и магнитного полей - это силовые линии, а поля скоростей – линии тока, т.е. линии, по которым движутся частицы поля.
Пусть векторная линия, проходящая через точку , описывается уравнениями
, где t – параметр. Из условия коллинеарности касательного вектора
и вектора поля
в произвольной точке дифференциальное уравнение этой линии имеет вид:
, (2)
где λ – некоторое число.
Уравнение (2) - это дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме.
В пространстве в декартовой системе координат:
,
. Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно системе дифференциальных уравнений:
, (3)
Система (3) – это симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Для её решения применяются интегрируемые комбинации, с привлечением свойств равных дробей. Для плоского поля система имеет вид
. (4)
Определение 5.Поверхность, состоящая из векторных линий, проведённых через каждую точку некоторой замкнутой линии l, называется векторной трубкой.
В следующих примерах для данных векторных полей найдём уравнения векторных линий и построим их.
Пример 7.Векторное поле .
Решение. Поле, у которого , определено на всей плоскости XOY,следовательно, через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна векторная линия. Составим дифференциальное уравнение векторных линий:
(см. (4)). Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
, или
- уравнения векторных линий. При С=0 это точка О(0,0), при С>0 – концентрические окружности.
Для определения направления движения по векторной линии материальной точки, попавшей в векторное поле, рассмотрим проекцию вектора
на ось OX. Это
. Там, где
,
составляет с осью OX острый угол, где
- тупой. Учитывая, что вектор поля направлен по касательной к векторной линии, и векторные линии непрерывны, достаточно выяснить, что в первой четверти движение поля происходит по часовой стрелке (см.Рисунок 4).
Ответ: - уравнения векторных линий.
Пример 8.Векторное поле .
Решение. Поле, у которого
, определено на всей плоскости XOY Составим дифференциальное уравнение векторных линий:
. Решим его:
. Рассмотрим случай
. Тогда
, т.е. ось OY тоже является векторной линией. Определим направление движения поля. Т.к.
то вектор
в любой точке составляет острый угол с осью OY (см.Рисунок 5).
Ответ: - уравнения векторных линий.
Пример 9. Найти векторные линии поля .
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий: (см. (3)). Из уравнения
следует
- первый интеграл системы. Получили семейство плоскостей, проходящих через ось OY. Вторую интегрируемую комбинацию составим следующим образом.
Умножим числители и знаменатели системы соответственно на :
.
Складывая, по свойству равных дробей получим:
, или
- ещё один первый интеграл системы.
- семейство сфер радиуса
.
Ответ: векторные линии задаются системой (пересечением пар поверхностей):
Контрольное задание 4.
Найти векторные линии поля:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
.