Ротор (вихрь) векторного поля
Формула Стокса.
Пусть - векторное поле, заданное в конечной области G с гладкой (или кусочно-гладкой) границей σ и
- единичный вектор внешней нормали к σ в точке M. Вектор-функция
называется циркуляцией поля по границе области G.
Если существует предел при стягивании объёма V, заключённого внутри в точку
:
,
то вектор называется ротором или вихрем поля
в точке
и обозначается символом
. По определению:
.
это плотность циркуляции векторного поля по границе области.
Пусть в области G задано векторное поле . Пусть
- внутренняя точка области G,π –некоторая плоскость, проходящая через эту точку.
- единичный вектор внешней нормали к π, L- замкнутый контур, лежащий в плоскости и ограничивающий область Ф, такую, что
- внутренняя точка области Ф. Тогда принимают
(24)
В правую часть формулы (24) входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура и площадь плоской области).
Если компоненты поля
имеют непрерывные частные производные по
, то вектор ротора поля
вычисляется по формуле:
. (25)
В частности, для плоского поля :
.
Определение 12.Если в каждой точке области выполняется равенство , то поле
называется безвихревым.
Теорема. В односвязной области всякое безвихревое поле потенциально.
.
Это является необходимым и достаточным условием потенциальности поля в поверхностно односвязной области. Если область не является поверхностно односвязной, то условие
не достаточно для потенциальности поля.
Формула Стокса.
Пусть в области G определено векторное поле . L – замкнутый контур, расположенный в области G. σ – поверхность, ограниченная контуром L, гладкая или кусочно-гладкая.
- единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности σ . Пусть функции
непрерывны вместе со своими частными производными. Тогда справедлива формула Стокса:
. (26)
Ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности σ по правилу правого винта. Или:
. (27)
Левая часть формулы Стокса – это циркуляция векторного поля вдоль контура L, а правая представляет собой поток через поверхность σ векторного поля
. В векторной форме формулу Стокса можно записать так:
. (28)
Физический смысл формулы Стокса: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через произвольную поверхность, натянутую на этот контур.
Формула Стокса остаётся справедливой и в случае, когда поверхность σ является плоской областью, параллельной какой-нибудь координатной плоскости. Тогда формула Стокса превращается в формулу Грина:
.
Пример 22. Найти ротор векторного поля и убедиться, что новое поле
является соленоидальным.
Решение. По формуле (25) имеем:
.
Вычислим по формуле (29):
.
Ответ: Так как , поле
является соленоидальным, ч.т.д.
Пример 23. Проверить, является ли потенциальным векторное поле .
Решение. По формуле (25) имеем:
Ответ: данное поле является потенциальным, т.к. .
Пример 24.
Вычислить циркуляцию векторного поля
по эллипсу
. Обход контура против часовой стрелки, если смотреть из точки M(0,0,3). Ответ проверить по формуле Стокса.
Решение. 1) По формуле (7): Ц .
Примем: , тогда
,
. Ц
.
2)По формуле Стокса: Ц .
Вычислим по формуле (25):
.
В качестве σ выберемплоскость z=1, тогда и
.
Тогда Ц . Площадь эллипса с полуосями a и b равна
.
Ответ: Ц .
Пример 25.Вычислить циркуляцию векторного поля:
по контуру треугольника ABC , где A(1,1,0), B(0,0,2), C(3,0,1), двумя способами: 1) с помощью криволинейного интеграла, 2) по формуле Стокса.
Выяснить, как зависит циркуляция от расположения контура в данном поле.
Решение.
1) По формуле (7): Ц (см. рис.17)
Составим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.
Ц
2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса: Ц . В качестве поверхности σ выберемплоскость треугольника ABC. Тогда
. Единичный вектор нормали, составляющий острые углы с осями координат:
.
Найдём по формуле (25):
,
.
Тогда Ц , ч.т.д.
3) Исследуем поведение циркуляции при перемещении нашего контура в пространстве. Для этого используем определение скалярного произведения.
Ц , где
– угол между векторами
и
.
Видим, что циркуляция зависит от этого угла . Отсюда следует, что если треугольник ABC перемещается в пространстве параллельно своему исходному положению, то угол
не меняется, и циркуляция по контуру остаётся равной 9, а при повороте контура меняется направление вектора
, что влечёт изменение циркуляции.
Циркуляция достигнет максимального значения, когда , т.е. когда
. В этом случае Ц
.
Если , то Ц=0.
Ответ:Ц=9, Ц .
Пример 26.Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии L пересечения поверхности
и цилиндра
, используя формулу Стокса, если нормаль к поверхности образует острый угол с осью OZ.
Решение.
По формуле Стокса: Ц
.
Найдём по формуле (25):
.
|






Тогда



Для его вычисления спроектируем на плоскость XOY. Проекцией является круг
.
Имеем .
Тогда: Ц .
Ответ: Ц=0.
Контрольное задание 9.
1. Вычислить криволинейный интеграл , где L – линия пересечения верхней полусферы
с цилиндром
. L пробегает против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (0,0,3R).
2. Найти циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура L, составленного из части винтовой линии
и отрезка прямой, соединяющей точки B(a,0,2π) и A(a,0,0). Движение происходит от точки B к A и далее к B.
3. Для векторного поля вычислить
, циркуляцию поля
вдоль окружности
и выяснить, является ли поле
потенциальным в области
; в области
?
4. Найти циркуляцию поля вдоль контура треугольника OABO c координатами вершин O(0,0,0), A(1,1,2), B(0,1,2). Ответ проверить с помощью формулы Стокса. Найти максимальное значение циркуляции по данному контуру.