Статистичний розподіл вибірки та його геометричне зображення

Нехай вивчається деяка випадкова величина Х, закон розподілу якої невідомий. З цією метою над випадковою величиною Х проводиться ряд незалежних випробувань (вимірів). Результати вимірювань заносять в таблицю, що називають статистичним рядом, яка є первинною формою опису статистичного матеріалу і може бути оброблена різними способами, наприклад:

а) статистичним розподілом вибірки називається таблиця, в якій вказані значення х ознаки Х у зростаючому порядку (в цьому випадку значення утворюють дискретний варіаційний ряд, самі значення ознаки називаються варіантами), а також відповідні частоти або відносні частоти

Варіанти Х	Х₁	Х₂	…	Х_і	…	Х_k
Частота n_i	n₁	n₂	…	n_i	…	n_k
Відносна частота			…		…

де n=n₁+n₂+…n_k, , якщо i>j, ;

б) якщо згрупувати значення ознаки в зростаючому порядку в інтервалі довжиною h (крок інтервалу), то одержимо інтервальний варіаційний ряд. Вказавши число n_i значень ознаки, що попали в і-ий інтервал, і звівши дані в таблицю, одержимо статистичний розподіл інтервального варіаційного ряду

Варіант-інтервал h=x_i-x_i_-1	[x₀,x₁]	[x₁,x₂]	…	[x_i_-1,x_k]	…	[x_k_-1,x_k]
Частота n_i	n₁	n₂	…	n_i	…	n_k
Відносна частота W_i	W₁	W₂	…	W_i	…	W_k

де весь інтервал значень .

в) статистичною (емпіричною) функцією розподілу вибірки називається закон зміни частоти події X<x в даному статистичному матеріалі:

, (1)

де n(x) – число значень варіант, для яких , n – об’єм вибірки; тобто щоб знайти, наприклад, F^*(x₃), потрібно число варіант, менших х₃, розділити на весь об’єм вибірки n.

Аналогом теоретичної диференціальної функції (густини) розподілу служить щільність відносної частоти

. (2)

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки функція розподілу F(x) генеральної сукупності називається теоретичною функцією розподілу. Різниця між ними полягає в тому, що теоретична функція F(x) визначає ймовірність події X<x, а емпірична функція F^*(x) визначає відносну частоту цієї ж події. По теоремі Бернуллі при по ймовірності. Іншими словами, при великих n числа F^*(x) і F(x) мало різняться одне від одного в розумінні, що . Звідси можна зробити висновок про доцільність використання емпіричної функції розподілу вибірки для наближеного представлення теоретичної (інтегральної) функції розподілу генеральної сукупності.

Такий висновок підтверджується ще й тим, що F^*(x) має всі властивості F(x). Дійсно, з означення функції F^*(x) випливають її властивості:

2) F^*(x) - неспадна функція;

3) якщо х₁ – найменша варіанта, то F^*(x)=0 при x<x₁, якщо x_k – найбільша варіанта, то

F^*(x)=1 при x>x_k.

Отже, емпірична (статистична) функція розподілу вибірки є оцінкою теоретичної функції розподілу генеральної сукупності.

Для наочного зображення статистичних розподілів використовують графіки та діаграми: полігон, гістограму, кумуляту, огіву.

Полігон частот – многокутник (ламана), побудований в системі координат (x,n_i) або (x,W_i) (полігон частот або відносних ачастот). Для його побудови на осі абсцис відкладають варіанти х_і, а на осі ординат – відповідні їм n_i чи W_i. Точки (x_i,n_i) чи (x_i,W_i) з’єднують відрізками прямих і отримують полігон частот.

Гістограма – діаграма в системі координат . Її доцільно будувати у випадку неперервної ознаки, для чого інтервал, в якому містяться всі спостережувані значення ознаки розбивають на декілька часткових інтервалів довжиною і знаходять для кожного часткового інтервалу n_i – суму частот ваірант, що попали в і-ий інтервал. Для її графіка будується ступінчата фігура, що складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжиною h, а висоти рівні відношенню або . Отже, на осі абсцис відкладаються частинні інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні осі абсцис на висоті . Тоді площа і-го частинного прямокутника рівна - сумі частот варіант (відносних частот) і-го інтервалу, а площа гістограми частот рівна об’єму вибірки чи .

Кумулята – ламана лінія в системі координат (x,F^*(x)) (для дискретного варіаційного ряду).

Огіва – крива в системі координат (x,F^*(x)) (для інтервального ряду).

Приклад 1. Скласти таблицю статистичного розподілу розміру Х чоловічого взуття, яке продане магазином протягом дня: 39, 40, 41,40, 43, 41, 44, 42,40,42, 41, 41, 43, 42, 39, 42, 43, 41, 42, 41, 38, 42, 42, 41, 40, 41, 43, 39, 40, та побудувати полігон та кумуляту.

Рішення. Таблиця розподілу дискретного ряду має вигляд:

№ п/п	Варіанта Х- розмір взуття	Частота n_i	Частота N_i	n(x)	F^(x)*
1	38	1	1/30	1	1/30
2	39	3	1/10	4	2/15
3	40	5	1/6	9	3/10
4	41	9	3/10	18	3/5
5	42	7	7/30	25	5/6
6	43	4	2/15	29	29/30
7	44	1	1/30	30	1

Приклад 2. Побудувати гістограму відносних частот розподілу в першому стовпці вказано частинні інтервали, в другому – сума частот варіант частинного інтервалу:

2 – 5 9

5 – 8 10

8 – 11 25

11 – 14 6

Частинні інтервали з кроком h=3	Сума відносних частот варіант інтервалу W_i	Густина частоти
2-5	9/50	3/50
5-8	10/50	1/15
8-11	25/50	1/6
11-14	6/50	1/25

Рішення. Складемо таблицю, де n=9+10+25+6=50, .