Нормальний закон розподілу
Серед розподілів неперервних випадкових величин центральне місце займає нормальний (закон Гаусса). Він часто застосовується в задачах практики, проявляється в тих випадках, коли випадкова величина Х є результатом дії великого числа факторів, кожний з яких окремо на величину Х впливає мало і не можна виділити, який більше, а який менше.
Основна особливість, що виділяє нормальний закон серед інших, полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу.
Означення. Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, якщо її густина розподілу має вигляд:
(12)
для довільного значення 
і довільних чисел 
і 
.
Числа і називають параметрами розподілу і мають певний ймовірнісний зміст, який розглянемо нижче.
Графіком функції (12) є крива, яку в літературі називають кривою Гаусса, або нормальною кривою.
 |
Якщо у формулі (12) покласти 
, отримуємо нормовану функцію Гаусса, яка нам уже траплялася в теоремах Муавра-Лапласа (див. лк.23, §3) під назвою функції Лапласа.
Бачимо, що нормальний розподіл визначається двома параметрами: і . Досить знати ці параметри, щоб задати нормальний закон розподілу. Доведемо, що ймовірнісний зміст цих параметрів наступний: - математичне сподівання, а - середнє квадратичне відхилення. Дійсно:
а)
Перший доданок 
, бо функція непарна, а інтегрування ведеться в межах, симетричних відносно початку координат; другий доданок 
- інтеграл Пуассона, отже:
. (13)
б)
. (14)
Відмітимо деякі властивості нормальної кривої:
а) крива симетрична відносно прямої 
і 
;
б) крива має один максимум при , бо 
при , 
при 
і 
, при 
;
в) крива асимптотично наближається до осі 
, бо 
;
г) зміна математичного сподівання при 
призводить до зміщення кривої Гаусса вздовж осі .
При зміні середнього квадратичного відхилення 
і 
крива розподілу міняє свій вигляд (див рис.1), де крива І відповідає 
, крива ІІ - 
, а для кривої ІІІ - 
, 
.
Поряд з диференціальною функцією розподілу (12) нормального закону розподілу розглянемо й інтегральну функцію. Згідно з означенням, маємо:
.
Перший інтеграл відомий в літературі як інтеграл Пуассона і його значення дорівнює 0,5. Тоді у другому робиться заміна 
:
. (15)
Як наслідок з формули (15) отримаємо ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал 
:
(16)
Легко встановити і відхилення випадкової величини від її математичного сподівання на наперед задану величину 
:
. (17)
З останньої формули (17) легко встановити правило трьох сигм, а саме, покладемо 
.
.
Якщо 
, тобто 
, то
(18)
В цьому полягає сутність правила трьох сигм: якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення.
Приклад 1. Похибка радіодальноміра має нормальний закон розподілу з 
м, 
м. Знайти ймовірність того, що виміряне значення дальності буде відхилятися від істинного не більше, ніж на 20 м.
Рішення. Скористаємось формулою (17):
.