Випадкові події. Класифікація подій

В практичній діяльності часто зустрічаються явища, наслідки яких неможливо передбачити, тобто результат яких залежить від випадку. Такі явища називаються випадковими. Так, наприклад, при стрільбі результат кожного окремого пострілу буде випадковим. Проводячи експеримент над певним явищем і систематизуючи результати дослідження у вигляді графіка, можна переконатись, що при досить великій кількості експериментальних точок отримується не крива, а деяка смуга, тобто має місце випадкове розсіювання експериментальних точок.

При розв’язуванні практичних задач цими випадковими відхиленнями можна нехтувати, припускаючи, що в даних умовах досліду явище протікає цілком однозначно. Проявляється основна закономірність, властива даному явищу, тобто є можливість передбачити результат досліду по його вхідних умовах.

Математична наука, що вивчає загальні закономірності випадкових явищ незалежно від їх конкретної природи і дає методи кількісної оцінки впливу випадкових факторів на різні явища, називається теорією ймовірності.

В основі теорії ймовірності, як і в основі будь-якої науки, лежать деякі означення, первинні поняття. З допомогою цих понять дається логічне визначення наступних більш складних означень.

В якості одного з основних понять, якими оперує теорія ймовірності, є подія. Подієюв теорії ймовірності називається будь-який факт, який може відбутись в результаті деякого досліду (випробовування).

Під випробовуванням розуміють здійснення певного комплексу умов, які можна відновити довільне число разів. Нове випробовування є повторенням попереднього при одних і тих же умовах (хоча про повну тотожність всього комплексу умов можна говорити лише наближено).

Ці поняття легко описати, розглянувши підкидання грального кубика, на гранях якого розміщені числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кожне підкидання при однакових умовах є випробовуванням, а випадання певного числа – подією.

Події прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту А, В, ... Наприклад, подія А – випадання грані з числом 1, В – числом 2 і т.д.

Для правильної орієнтації в теоремах теорії ймовірності необхідно проаналізувати існуючу класифікацію подій.

Якщо при всіх випробовуваннях розглядувана подія завжди відбувається, то вона називається достовірною (вірогідною).

Якщо при всіх випробовуваннях розглядувана подія ніколи не відбувається, то вона називається неможливою.

Подія, яка в результаті випробовування може відбутись, а може і не відбутись, називається випадковою.

Наприклад, достовірною є подія, яка полягає в тому, що при киданні грального кубика випаде ціле число очок. Неможливою – ірраціональне. А випадання певного числа із множини 1, 2, 3, 4, 5, 6 – подія випадкова.

Дві події А та В називають сумісними, якщо поява одної з них не виключає появи другої. Наприклад, підкидають два гральні кубики. Подія А – випадання 2 очок на першому кубику, подія В – випадання 4 очок на другому. А та В – події сумісні.

Дві події А та В називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу другої. Наприклад, стрілець робить постріл по мішені. Подія А – стрілець вибив 5 очок, подія В – стрілець вибив 8 очок. Події А та В – несумісні.

Множина подій А₁, А₂, ... А_n називається групою несумісних подій, якщо події, які входять в множину, попарно несумісні. Наприклад, робиться постріл по мішені. А₁ – попадання в десятку, А₂ – попадання в вісімку і т.д., А₅ – попадання у двійку, А₆ – промах. А₁, А₂, ...А₆ утворюють групу несумісних подій.

Множина подій називається групою сумісних подій, якщо сумісні хоча б дві події з цієї групи. Наприклад, робиться три постріли по мішені. А₁ – попадання в мішень при першому пострілі, А₂ - попадання в мішень при другому пострілі, А₃ – при третьому. А₁, А₂, А₃ утворюють групу сумісних подій.

Події А₁, А₂, ...А_n утворюють повну групу, якщо в результаті випробування обов’язково відбувається хоча б одна з них. На практиці часто зустрічається повна група несумісних подій, тобто коли в результаті випробування відбувається лише одна з цих подій.

Приклад 1.В ящику 10 кульок. З них 6 червоних, 4 білих, причому 5 кульок мають номери. Нехай подія А – наугад вийнята кулька червона, В – поява білої кульки, С – витягнута кулька з номером. Події А, В, С, утворюють повну групу сумісних подій.

Приклад 2.По цілі робляться три постріли Нехай подія А – промах, В – одне попадання, С – два попадання, Д – три попадання. Події А, В, С, Д утворюють повну групу несумісних подій.

Якщо дві події утвоюють повну групу несумісних подій, то їх називають протилежними, а подію, протилежну події А прийнято позначати через . Наприклад, подія А – здача студентом іспиту, подія - нездача іспиту.

Дві або декілька випадкових подій називають рівноможливими, якщо умови їх появи однакові, і немає підстав стверджувати, що яка-небудь з них в результаті випробування має більше шансів відбутись, ніж інша. Наприклад, випадання довільного числа очок від одиниці до шести при підкиданні грального кубика.

§2. Операції над подіями

Розглянемо приклад. Випробування полягає в тому, що кидається гральний кубик, зроблений з однорідного матеріалу; грані кубика з номерами від 1 до 6. При одному киданні кубика на його поверхні може випасти будь-яке число від 1 до 6. Подію “при одному киданні випало очок” позначимо через w_і; події w_і є елементарними(нерозкладними), вони вичерпують усі можливі результати заданого випробовування. Але з цим випробовуванням можна пов’язати і складні (розкладні) події. Так, нехай подія А полягає в тому, що при одному киданні кубика випало парне число очок, подія В – випало число очок, кратне 3. Зрозуміло, що ці події є складними, вони можуть бути розкладені на елементарні події.

Подія А настає тоді і тільки тоді, коли настає одна з елементарних подій w₂, w_4,w₆; так само настання події В еквівалентне настанню однієї події w₃, w₆. Тому природно розглядати події А та В як відповідні множини елементарних подій: А={w₂, w₄, w₆}, В={w_3,w₆}.

Таким чином під елементарними подіями, пов’язаними з певним випробуванням, розуміють усі нерозкладні результати цього випробування. Кожну подію, яка може настати в результаті цього випробування, можна розглядати як деяку множину елементарних подій.

Відмітимо, що елементарні події можуть бути об’єктами різноманітної природи. Тому, формалізуючи попередні міркування, приходимо до такого означення:

Означення 1. Простором елементарних подій називається довільна множина (скінченна чи нескінченна) і позначається буквою W, його елементи (точки) тобто елементарні події, буквами w _i або w.

Підмножини простору елементарних подій називають подіями (подія А настає, якщо настає яка-небудь з елементарних подій wÎА). Сама множина W називається достовірною подією, порожня множина Æ – неможливою подією. Тим самим дано попереднім означенням події теоретико-множинне трактування.

Розглянемо відношення, в яких можуть знаходитись події і операції над подіями.

Означення 2. Подія А є окремим випадком В (або В є наслідком А), якщо множина А є підмножиною В. Позначають це відношення так само, як для множин: АÌВ.

Таким чином, відношення АÌВ означає, що всі елементарні події, які входять в А, входять також в В, тобто, що при настанні події А відбувається також подія В. При цьому, якщо АÌВ та ВÌА, то А=В.

Означення 3. Об’єднанням (або сумою) АÈВ подій А, В називається їх теоретико-множинне об’єднання, тобто подія, яка складається з елементарних подій, що входять до складу хоча б однієї з подій А,В.

Означення 4. Перетином (добутком) АÇВ подій А, В називається їх теоретико-множинний переріз, тобто подія, яка складається з елементарних подій, що входять в обидві події А, В.

Інакше кажучи, подія АÈВ настає тоді і тільки тоді, коли настає або подія А, або подія В, або обидві події; подія АÇВ настає тоді і тільки тоді, коли настають обидві події А і В одночасно. Аналогічно визначаються суми і добутки кількох подій.

Означення 5. Протилежною подією Ā до події А називається теоретико-множинне доповнення W\А, тобто подія, що складається з усіх подій, які не входять в А.

Таким чином, подія Ā відбувається тоді і тільки тоді, коли не настає подія А.

Означення 6. Події А та В називаються несумісними, якщо АÇВ=Æ.

Означення 2 – 6 зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера-Венна. На цих діаграмах простір елементарних подій зображено у вигляді квадрата, а події – у вигляді кругів.

В А W

А В W

А Ā

А W В

АÌВ АÈВ АÇВ W АÇВ=Æ

Властивості операцій над подіями:

1) АÈВ= ВÈА; АÇВ=ВÇА (комунікативні закони для додавання і множення)

2) (АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС); (АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС) (асоціативні закони додавання і множення)

3) (АÈВ)ÇС=АÇСÈВÇС (дистрибутивний закон множення відносно додавання)

4) АÇВÈС=(АÈС)Ç(ВÈС) (дистрибутивний закон додавання відносно множення)

5) АÈĀ=W; АÇĀ=Æ

6) АÈА=А; АÇА=А; АÈW=W; АÇW=А; АÇÆ=Æ

Якщо АÌВ, ВÌС, то АÌС.

Приклад. Стрілець тричі стріляє по мішені. Описати: 1) простір елементарних подій; 2) подію А, яка полягає в тому, що буде одне попадання; 3) подію В, яка полягає в тому, що буде не менше двох попадань (два або три).

1) елементарні події: А₁ – попадання при першому пострілі, Ā₁ – промах при першому пострілі, А₂ – попадання при другому пострілі, Ā₂ – промах при другому пострілі, А₃ – попадання при третьому пострілі, Ā₃ – промах при третьому пострілі.

2) А = А₁ÇĀ₂ÇĀ₃ÈĀ₁ÇА₂ÇĀ₃ÈĀ₁ÇĀ₂ÇА₃

3) В=А₁ÇА₂ÇĀ₃ÈА₁ÇĀ₂ÇА₃ÈĀ₁ÇА₂ÇА₃ÈА₁ÇА₂ÇА₃.

§3. Частота події і її властивості

Нехай простір елементарних подій W є скінченною множиною, W={w₁, w₂, ... w_n}, тобто є тільки n можливих результатів випробовування, тобто множина W є повна група несумісних подій і всі елементарні події рівноможливі.

Проводиться серія з n випробовувань, в кожному з яких подія А могла відбутись, або не відбутись.

Частотою події А в даній серії випробовувань називається відношення числа випробовувань, в яких з’явилась подія, до числа всіх випробувань.

Позначивши частоту події А через Р*(А), одержують:

P*(A)= ,

де N(А) – число елементів множини А. Якщо N(А)= m, то Р*(А)=

Приклад. З партії виробів зі 100 штук 5 виробів виявились бракованими. Обчислити частоту браку.

Рішення. Нехай А – подія, яка полягає в тому, що виріб бракований. Тоді N(А)=m=5, n=100.

Р*(А) = 5/100 = 0,05.

Розглянемо властивості частоти:

Властивість 1. Частота випадкової події А є невід’ємне число, що міститься між нулем і одиницею, тобто

0 £ Р*(А) £ 1

бо 0 £ N(А)=m £ n.

Властивість 2. Частота достовірної події рівна 1, бо m=n, отже:

Р*(А) = =1.

Властивість 3. Частота неможливої події рівна нулю, бо m=0, отже Р*(Æ)=0/n=0.

До цих пір розглядалась частота одної події, а на практиці можуть бути випадки, коли в серії з n випробовувань відбувається не одна подія, а декілька, які знаходяться в певному відношенні одна з другою.

Якщо при повторенні випробовувань може з’явитись або подія А, або подія В, то має місце наступна властивість частоти, яка називається правилом додавання частот.

Властивість 4. Частота об’єднання двох несумісних подій А та В рівна сумі частот цих подій:

Р*(АÈВ) = Р*(А)+Р*(В).

Доведення. Нехай в результаті серії з n випробовувань подія А з’явилась m раз, а подія В – k раз. Це значить, що Р*(А)= Р*(В)= .

Так події А та В несумісні, то

N(АÈВ)=N(А)+N(В),

P*(AUB)= = = =P*(A)+P*(B).

Наслідок. Нехай подія Ā протилежна до події А. Тоді АÈĀ=W; Р*(W)=1=Р*(АÈĀ)=Р*(А)+Р*(Ā),

звідки Р*(Ā)=1-Р*(А), тобто частота протилежної події Ā рівна одиниці мінус частота події А.

Частоту однієї події, обчислену при умові, що відбулась друга подія, називають у м о в н о ю частотою і позначають:

Р*(А\В), Р*(В\А) або ( Р_В*(А), Р_А*(В)).

Властивість 5. Частота перетину двох подій рівна добутку частоти однієї з них на умовну частоту другої.

Р*(АÇВ)=Р*(А)×Р_А*(В)=Р*(В)×Р_В*(А).

Доведення. Нехай в результаті серії з n випробовувань подія А відбулася m раз і подія В – k раз, причому ℓ раз події А та В відбулись разом. Тоді

P*(A)= , P*(B)= , P*(A B)= .

Так як подія А відбулася в m випробовуваннях і в ℓ з цих m випробовувань з’явилась разом з нею подія В, то умовна частота події В при умові, що подія А мала місце, рівна , тобто Р_А*(В)= .

Аналогічно Р_В*(А)= .

Тоді P*(A B)= = × =P*(A)*Р*_А(В)=

= × = × =P*(B)×P* (A).

§4. Ймовірність події

Частоту події можна визначити тільки після проведення випробувань, а в різних серіях випробувань, при одних і тих же умовах частота події не буде постійною. Тому поняття частоти є поганою характеристикою події. Проте в міру збільшення числа випробувань, частота поступово стабілізується, тобто приймає значення, яке мало відрізняється від деякого певного числа. Таким чином, з даною подією можна зв’язати деяку постійну величину, навколо якої групуються частоти і яка є характеристикою об’єктивного зв’язку між комплексом умов, при якому проводяться випробовування, і подією. Ця постійна величина називається ймовірністю події.

Ймовірністю випадкової події називається постійне число, навколо якого групуються частоти цієї події в міру зростання числа випробувань.

Таке означення ймовірності називається статистичним. Ймовірність події А прийнято позначати Р(А).

Статистичний спосіб задання ймовірності має ту перевагу, що він опирається на реальні випробовування, але має і той недолік, що для надійного визначення ймовірності необхідно провести велике число випробувань.

Те, що кожне масове випадкове явище має свою ймовірність, є дослідним фактором і підтверджує існування статистичних закономірностей в природі.

Статистичне означення ймовірності події хоча і досить повно відображає зміст цього поняття, але не дає змоги фактичного обчислення ймовірності, тобто не є “робочим” означенням. Тому розглядається інше, що називається класичним означенням ймовірності події.

Класичний спосіб означення ймовірності базується на понятті рівноможливих подій, які є необхідною умовою випробування і утворюють повну групу несумісних подій.

Рівноможливі і несумісні події, що утворюють повну групу, будемо називати випадками або шансами. По відношенню до кожної події випадки (шанси) діляться на сприятливі, при яких ця подія відбувається, і несприятливі, при яких ця подія не відбувається. Наприклад, при киданні грального кубика події появи парного числа очок є сприятливими три випадки {2, 4, 6} і несприятливими також три випадки {1, 3, 5}.

Означення (класичне). Ймовірністю появи деякої події називається відношення числа випадків, сприятливих появі цієї події, до загального числа рівноможливих випадків.

Таке означення називається через те класичним, бо воно було означенням ймовірності в початковий період розвитку теорії ймовірності. Перевага цього означення ймовірності події полягає в тому, що з його допомогою можна обчислити ймовірність події до випробування. Але його недоліком є те, що воно застосовується тільки тоді, коли ми маємо справу з рівноможливими даними випробування.

Позначивши число випадків, сприятливих події А, через m, а загальне число рівноможливих випадків через n, дане класичне означення ймовірності можна записати у вигляді формули

P(A)= . (1)

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що при киданні грального кубика випаде парне число очок.

Рішення. Нехай подія А – випадання парного числа очок. Число всіх рівноможливих випадків n = 6, а число сприятливих випадків m = 3 (випадання 2, 4, 6 очок). Тому Р(А)= = .

Приклад 2. В ящику 15 кульок, з них 9 червоних і 6 синіх. Знайти ймовірність того, що наугад вийняті дві кульки будуть червоними.

Рішення. В даному прикладі загальне число рівноможливих випадків рівне числу комбінацій із всього числа кульок по два , оскільки довільні дві кульки із п’ятнадцяти можуть бути вийняті з рівноможливими шансами:

n= = =105.

Нехай подія А полягає в тому, що були вийняті дві червоні кульки; тоді число випадків, сприятливих появі події А, рівне числу комбінацій із числа червоних кульок по два, тобто

= =36.

Отже, Р(А)= = .

§5. Аксіоматична побудова теорії ймовірності

Із статистичного означення ймовірності випадкової події випливає, що ймовірність події є число, біля якого стійко коливається частота цієї події. Тому аксіоми теорії ймовірності вводяться таким чином, щоб ймовірність події зберігала основні властивості частоти. Тільки в цьому випадку дана теорія буде добре узгоджуватись з досвідом.

Аксіома 1. Ймовірність випадкової події А є невід’ємне число, що знаходиться між нулем і одиницею, тобто

Аксіома 2. Ймовірність достовірної події рівна одиниці

Аксіома 3. Ймовірність неможливої події рівна нулеві

Р(Æ)=0.

Відмітимо, якщо ймовірність деякої події А рівна нулеві, то це не означає, що подія неможлива. Аналогічно, якщо ймовірність деякої події рівна одиниці, то це не означає, що немає таких випадків, коли дана подія не відбувається.

Аксіома 4. Ймовірність об’єднання (суми) двох несумісних подій А та В рівна сумі ймовірностей цих подій, тобто

. (1)

Для формулювання аксіоми, що відповідає п’ятій властивості частоти, вводиться поняття умовної ймовірності.

Означення 1. Ймовірність події А, при умові того, що відбулася подія В, називається умовною ймовірністю події А по відношенню до події В і позначається

Р(А\В) або Р_В(А).

Аксіома 5. Ймовірність перетину (добутку) двох подій рівна добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої, тобто

Р(А В)=Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А).

Приклад 1. В ящику 10 червоних, 12 синіх і 8 білих кульок. Навмання виймається одна кулька. Яка ймовірність, що вона буде синя чи біла?

Рішення. Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що вийнята кулька синя, а через В подію, яка полягає в тому, що вийнята кулька біла. Тоді

, .

Події А та В несумісні (поява білої кульки включає появу синьої і навпаки), тому: