Нормальный закон распределения
Определение.Нормальнымназывается распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
,
где 
, 
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.
Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.
Можно легко показать, что параметры 
и 
, входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины 
.
Найдем функцию распределения 
.
,
где 
, 
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1. Функция определена на всей числовой оси.
2. При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
3. Ось 
является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, так как при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.
4. Найдем экстремум функции.
Так как при y’ > 0 при x <а и y’ < 0 при x > а , то в точке х = а функция имеет максимум, равный 
.
5. Функция является симметричной относительно прямой х = а, так как разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6. Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.
При x = а+ s и x = а - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, то есть в этих точках функция имеет перегиб.
В этих точках значение функции равно 
.
Построим график функции плотности распределения.
Графики 
при различных значениях 
и 
имеют вид:
Параметр характеризует положение кривой, а параметр - форму кривой нормального распределения.
При 
распределение называется стандартным нормальным, а график называется нормированной кривой.
.
Если случайная величина распределена по нормальному закону, то
Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины 
от математического ожидания по модулю меньше заданного числа 
равна 
.
Правило трех 
Если случайная величина распределена по нормальному закону, то модуль ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
.
На практике это правило используют так: если распределение случайной величины не известно, но правило трех выполняется, то есть основание предполагать, что случайная величина распределена нормально.
Нормальному закону распределения подчиняются ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, рост человека, колебание курса акций и т.д.
Пример 27.Случайна величина распределена по нормальному закону 
, а вероятность ее попадания в интервал 
равна 0,8. Найти вероятность попадания в интервал 
.
¦ 
; 
; 
l