Метод початкових параметрів 4 страница

Продовження таблиці 2.3

 

5,85 —6,3471 6,9455 0,5984 —15,9144 2,5073 —31,7152 5,85
5,86 —6,5268 7,1132 0,5864 —15,9970 2,4510 —31,8886 5,86
5,87 —6,7150 7,2891 0,5741 —16,0802 2,3947 —32,0622 5,87
5,88 —6,9120 7,4738 0,5618 —16,1636 2,3385 —32,2359 5,88
5,89 —7,1188 7,6681 0,5493 —16,2474 2,2823 —32,4098 5,89
5,90 —7,3358 7,8725 0,5368 —16,3314 2,2262 —32,5838 5,90
5,91 —7,5641 8,0884 0,5243 —16,4154 2,1702 —32,7579 5,91
5,92 —7,8043 8,3159 0,5116 —16,5000 2,1142 —32,9322 5,92
5,93 —8,0580 8,5570 0,4990 —16,5844 2,0581 —33,1068 5,93
5,94 —8,3260 8,8122 0,4862 —16,6694 2,0020 —33,2815 5,94
5,95 —8,6094 9,0830 0,4736 —16,7540 1,9460 —33,4565 5,95
5,96 —8,9100 9,3706 0,4606 —16,8396 1,8900 —33,6316 5,96
5,97 —9,2293 9,6769 0,4476 —16,9252 1,8338 —33,8070 5,97
5,98 —9,5690 10,0035 0,4345 —17,0112 1,7777 —33,9827 5,98
5,99 —9,9313 10,3528 0,4215 —17,0970 1,7216 —34,1585 5,99
6,00 —10,3186 10,7269 0,4083 —17,1834 1,6653 —34,3347 6,00
6,01 —10,7339 11,1289 0,3950 —17,2700 1,6089 —34,5112 6,01
6,02 —11,1799 11,5615 0,3816 —17,3570 1,5525 —34,6879 6,02
6,03 —11,6605 12,0287 0,3682 —17,4440 1,4960 —34,8649 6,03
6,04 —12,1799 12,5346 0,3547 —17,5314 1,4394 —35,0422 6,04
6,05 —12,7431 13,0842 0,3411 —17,6190 1,3827 —35,2198 6,05
6,06 —13,3561 13,6835 0,3274 —17,7070 1,3258 —35,3978 6,06
6,07 —14,0257 14,3393 0,3136 —17,7952 1,2687 —35,5762 6,07
6,08 —14,7603 15,0602 0,2998 —17,8836 1,2116 —35,7548 6,08
6,09 —15,5701 15,8560 0,2859 —17,9722 1,1543 —35,9338 6,09
6,10 —16,4673 16,7392 0,2719 —18,0612 1,0968 —36,1132 6,10
6,11 —17,4670 17,7249 0,2579 —18,1502 1,0391 —36,2930 6,11
6,12 —18,5882 18,8319 0,2437 —18,2398 0,9813 —36,4731 6,12
6,13 —19,8546 20,0841 0,2295 —18,3295 0,9232 —36,6537 6,13
6,14 —21,2965 21,5116 0,2151 —18,4196 0,8649 —36,8347 6,14
6,15 —22,9537 23,1544 0,2007 —18,5098 0,8064 —37,0161 6,15
6,16 —24,8783 25,0645 0,1862 —18,6004 0,7476 —37,1980 6,16
6,17 —27,1413 27,3129 0,1716 —18,6912 0,6887 —37,3802 6,17
6,18 —29,8411 29,9981 0,1570 —18,7822 0,6294 —37,5630 6,18
6,19 —33,1182 33,2604 0,1422 —18,8736 0,5699 —37,7462 6,19
6,20 —37,1810 37,3083 0,1273 —18,9654 0,5101 —37,9299 6,20
6,21 —42,3515 42,4638 0,1123 —19,0574 0,4500 —38,1141 6,21
6,22 —49,1553 49,2526 0,0973 —19,1496 0,3896 —38,2988 6,22
6,23 —58,5139 58,5961 0,0822 —19,2420 0,3289 —38,4840 6,23
6,24 —72,2020 72,2689 0,0669 —19,3350 0,2678 —38,6698 6,24
6,25 —94,1338 94,1854 0,0516 —19,4280 0,2064 —38,8561 6,25
6,26 —134,975 135,011 0,0361 —19,5216 0,1446 —39,0430 6,26
6,27 —237,751 237,771 0,0207 —19,6150 0,0825 —39,2304 6,27
6,28 —985,773 985,778 0,0050 —19,7092 0,0200 —39,4184 6,28
               

 


Таблиця 2.4 - Таблиці спеціальних функцій для розтягнуто-вигнутих стержнів

 

0,00 2,0000 l,0000 3,0000 6,0000 3,0000 3,0000 0,00
0,10 2,0007 0,9998 3,0005 6,0060 3,0020 3,0120 0,10
0,20 2,0027 0,9993 3,0020 6,0241 3,0080 3,0480 0,20
0,30 2,0060 0,9985 3,0045 6,0540 3,0180 3,1080 0,30
0,40 2,0106 0,9973 3,0080 6,0960 3,0319 3,1919 0,40
0,50 2,0166 0,9959 3,0125 6,1500 3,0496 3,2996 0,50
0,60 2,0239 0,9941 3,0180 6,2159 3,0713 3,4313 0,60
0,70 2,0325 0,9920 3,0244 6,2938 3,0967 3,5867 0,70
0,80 2,0423 0,9895 3,0319 6,3837 3,1257 3,7657 0,80
0,90 2,0534 0,9838 3,0403 6,4855 3,1584 3,9684 0,90
1,00 2,0658 0,9838 3,0496 6,5993 3,1945 4,1945 1,00
1,10 2,0794 0,9806 3,0600 6,7250 3,2341 4,4441 1,10
1,20 2,0943 0,9770 3,0713 6,8626 3,2768 4,7168 1,20
1,30 2,1103 0,9732 3,0835 7,0120 3,3228 5,0128 1,30
1,40 2,1275 0,9692 3,0967 7,1734 3,3718 5,3318 1,40
1,50 2,1458 0,9650 3,1108 7,3466 3,4237 5,6737 1,50
1,60 2,1653 0,9605 3,1258 7,5316 3,4784 6,0384 1,60
1,70 2,1858 0,9558 3,1416 7,7282 3,5357 6,4257 1,70
1,80 2,2074 0,9510 3,1584 7,9368 3,5955 6,8355 1,80
1,90 2,2301 0,9459 3,1760 8,1570 3,6577 7,2677 1,90
2,00 2,2537 0,9407 3,1944 8,3888 3,7222 7,7222 2,00
2,10 2,2786 0,9354 3,2140 8,6330 3,7888 8,1988 2,10
2,20 2,3041 0,9299 3,2340 8,8882 3,8575 8,6975 2,20
2,30 2,3306 0,9244 3,2550 9,1550 3,9281 9,2181 2,30
2,40 2,3581 0,9187 3,2768 9,4336 4,0004 9,7604 2,40
2,50 2,3865 0,9129 3,2994 9,7238 4,0745 10,3245 2,50
2,60 2,4157 0,9071 3,3228 10,0256 4,1502 10,9102 2,60
2,70 2,4457 0,9012 3,3469 10,3388 4,2273 11,5173 2,70
2,80 2,4765 0,8952 3,3718 10,6636 4,3058 12,1458 2,80
2,90 2,5081 0,8892 3,3973 10,9998 4,3856 12,7956 2,90
3,00 2,5405 0,8832 3,4237 11,3474 4,4667 13,4667 3,00
3,10 2,5735 0,8772 3,4507 11,7064 4,5489 14,1589 3,10
3,20 2,6072 0,8711 3,4783 12,0766 4,6321 14,8721 3,20
3,30 2,6415 0,8652 3,5067 12,4584 4,7163 15,6063 3,30
3,40 2,6765 0,8591 3,5356 12,8512 4,8015 16,3615 3,40
3,50 2,7121 0,8531 3,5652 13,3556 4,8875 17,1375 3,50
3,60 2,7483 0,8472 3,5955 13,6710 4,9743 17,9343 3,60
3,70 2,7851 0,8412 3,6263 14,0976 5,0619 18,7519 3,70
3,80 2,8223 0,8354 3,6577 14,5354 5,1501 19,5901 3,80
3,90 2,8601 0,8296 3,6897 14,9844 5,2390 20,4490 3,90
4,00 2,8984 0,8237 3,7221 15,4444 5,3286 21,3286 4,00
4,10 2,9372 0,8180 3,7553 15,9156 5,4186 22,2286 4,10
4,20 2,9764 0,8121 3,7888 16,3976 5,5092 23,1492 4,20
4,30 3,0160 0,8069 3,5229 16,8908 5,6003 24,0903 4,30
4,40 3,0561 0,8014 3,8575 17,3950 5,6919 25,0519 4,40
4,50 3,0966 0,7960 3,8926 17,9102 5,7838 26,0338 4,50
4,60 3,1373 0,7907 3,9280 18,4360 5,8763 27,0363 4,60
4,70 3,1786 0,7854 3,9640 18,9730 5,9690 28,0590 4,70
4,80 3,2201 0,7802 4,0003 19,5208 6,0621 29,1021 4,80
4,90 3,2620 0,7753 4,0373 20,0796 6,1556 30,1656 4,90
5,00 3,3042 0,7703 4,0745 20,6490 6,2493 31,2493 5,00
5,10 3,3466 0,7655 4,1121 21,2292 6,3433 32,3533 5,10
5,20 3,3895 0,7607 4,1502 21,8204 6,4376 33,4776 5,20
5,30 3,4326 0,7560 4,1886 22,4 220 6,5321 34,6221 5,30
5,40 3,4759 0,7514 4,2273 23,0378 6,6269 35,7869 5,40

 

Продовження таблиці 2.4

 

5,50 3,5194 0,7468 4,2662 23,6576 6,7220 36,9720 5,50
5,60 3,5633 0,7426 4,3059 24,2918 6,8171 38,1771 5,60
5,70 3,6073 0,7381 4,3455 24,93 0 6,9126 39,4126 5,70
5,80 3,6516 0,7340 4,3856 25,5912 7,0082 40,6482 5,80
5,90 3,6961 0,7300 4,4261 26,2572 7,1040 41,9140 5,90
6,00 3,7408 0,7258 4,4666 26,9332 7,1999 43,1999 6,00
               

 

 

2.4.2 Основні припущення в розрахунках рам на стійкість

Точне визначення критичного навантаження досить громіздка задача, тому роблять припущення, які дають можливість спростити задачу.

Основні припущення:

- рама завантажена тільки вузловими силами, які в початковому стані не викликають деформації вигину стержнів;

- не враховуються поздовжні деформації та деформації зсуву стержнів;

- співвідношення між компонентами зовнішніх сил до втрати стійкості залишається незмінним, тобто критичний стан рами досягається шляхом одночасного та пропорційного підвищення всіх компонентів навантаження;

- розглядаються малі переміщення, а матеріал підпорядковується закону Гука.

До тих пір, поки ми розглядаємо малі деформації, прийняті припущення себе виправдовують і дають хороші результати.

Розглянемо детальніше деякі із цих припущень на прикладі рами, яку зображено на рисунку 2.7.

 

Рисунок 2.7 – Схема рами, яку необхідно розрахувати на стійкість

 

У вихідному стані рами, яку необхідно розрахувати на стійкість, всі елементи зазнають вигин, а це проти ричіть першому припущенню, тобто розрахункову схему рами на стійкість ще необхідно створити. Ми маємо визначити вузлові сили та поздовжні зусилля в стержнях від заданого навантаження на раму. Зробити це можна одним із наступних методів:

- розрахувати раму за недеформованою схемою точним методом;

- розглянути ригель рами як систему нерозрізних балок;

- розглянути ригель рами як систему розрізних балок.

Розрахункова схема рами на стійкість матиме вигляд, який наведено на рисунку 2.8.

 

 

Рисунок 2.8 – Розрахункова схема рами на стійкість

 

Згідно з третім припущенням співвідношення між компонентами навантаження виконується завжди. Так само буде виконуватися завжди і співвідношення значень вузлових сил Це дає можливість виразити всі компоненти навантаження через один, що дасть можливість розшукувати один параметр навантаження.

Приймемо . Тоді , звідки . Аналогічно знаходяться . Остаточно розрахункова схема рами на стійкість матиме вигляд, який наведено на рисунку 9. Основна мета розрахунку на міцність – знайти критичне значення параметра навантаження.

 

Рисунок 2.9 – Остаточний вигляд розрахункової схеми рами на стійкість

 

 

2.4.3 Алгоритм розв’язання задачі стійкості рам та балок методом переміщень

– Намічаємо вузли розрахункової схеми.

– Знаходимо поздовжні сили в стержнях рами.

Поздовжні сили в стержнях рами можна знайти з умов рівноваги вузлів. Усі поздовжні сили будуть виражені через параметр навантаження (на рисунку 2.9 параметр навантаження - ).

– Визначаємо за формулою (2.13) параметри всіх стержнів рами. Ці параметри залежатимуть від одного параметра навантаження. Це дає можливість виразити всі параметри через параметр одного зі стержнів. За "еталонний" краще взяти стержень, у якого параметр найбільший.

– Визначаємо кількість основних невідомих методу переміщень (кількість кутових і лінійних переміщень у намічених вузлах).

– Складаємо рівняння рівноваги вузлів або відсічених частин стержневої системи.

– За допомогою основних залежностей методу переміщень виражаємо кінцеві зусилля (згинальні моменти та поперечні сили), що ввійшли в рівняння рівноваги, через переміщення вузлів.

Внаслідок того, що в розрахунковій схемі на стійкість тільки вузлове навантаження, система рівнянь, яку ми отримаємо, буде однорідною і матиме вигляд:

Використовуючи матричні позначення, систему рівнянь (2.28) можна записати у вигляді:

де - матриця коефіцієнтів,

- матриця вузлових переміщень.

 

– Складаємо рівняння стійкості.

 

Як відомо з математики, система алгебраїчних однорідних рівнянь може мати ненульове рішення лише в тому разі, коли визначник цієї системи дорівнює нулю. Для системи рівнянь (2.28) має виконуватися умова

 

 

Для нашої задачі виконання цієї умови означає наявність ненульових значень кутових та (або) лінійних переміщень вузлів системи. А це і є умовою втрати стійкості системи, тому рівняння (2.30) називають рівнянням стійкості.

 

– Знаходимо критичне навантаження.

Розкривши рівняння (2.30) отримаємо трансцендентне рівняння відносно критичного параметра навантаження. Трансцендентне рівняння має нескінченно велику кількість коренів. Найменший з коренів цього рівняння відповідає мінімальному навантаженню, яке називають критичним навантаженням. Знайти корінь рівняння, який відповідає критичному навантаженню, найпростіше методом спроб. Після того, як величину знайдено, обчислюємо величину критичного навантаження. Скориставшись формулою (2.13) знаходимо .

– Визначаємо форму втрати стійкості.

Після визначення критичного параметра навантаження стають відомими всі коефіцієнти системи рівнянь (2.28). Система (2.28) – система однорідних рівнянь, тому визначити з неї можна тільки відносні значення переміщень вузлів. Зробити це можна, наприклад, таким чином. Поклавши з -го рівнянь цієї системи знайдемо інші переміщення вузлів.

 

– Визначаємо приведенні довжини стиснутих стержнів рами.

Порівнявши критичне значення поздовжньої сили та значення критичної сили для центрально-стиснутого прямолінійного стержня, яка визначається за формулою Ейлера , встановимо зв'язок між коефіцієнтом приведення довжини стержня та параметром стійкості стержня : . Знаючи обчислюємо параметри стійкості всіх стиснутих стержнів системи, яку розраховуємо. (Для цього слід скористатися співвідношеннями між параметрами стійкості, які були отримані при підготовці розрахункової схеми). Визначивши параметри стійкості стиснутих стержнів рами знаходимо коефіцієнти приведення довжин стержнів та приведенні довжини .

2.4.4 Урахування симетрії споруди при розв’язанні задачі стійкості

 

На відміну від статичних розрахунків за недеформованою схемою симетрія споруди при розв’язанні задачі стійкості може бути використана лише в тому випадку, якщо навантаження на споруду теж симетричне. При цьому будемо користуватися теоремою : Симетрична споруда під дією симетричного навантаження може втратити стійкість або за симетричною або за кососиметричною формою. (Строгий доказ цього положення можна знайти в працях Н.В.Корноухова). Однак ця теорема не дає відповіді на питання - якій формі відповідає мінімальне значення критичного навантаження. Тому на практиці визначають критичне навантаження, яке відповідає симетричній формі втрати стійкості, визначають критичне навантаження, яке відповідає кососиметричній формі втрати стійкості, та приймають менше з двох отриманих.